2020版高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质讲义 理（含解析）

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1、第5讲　直线、平面垂直的判定与性质[考纲解读]　掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的垂直关系的简单命题．(重点、难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预测2020年将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质；②根据垂直关系的性质进行转化．试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型.1．直线与平面垂直判定定理与性质定理2．平面与平面垂直判定定理与性质定理3．直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)

2、范围：.4．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)范围：[0，π]．5．必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．(6)两个相交平面同时垂直于第三个

3、平面，它们的交线也垂直于第三个平面．1．概念辨析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)下列命题中不正确的是(　　)A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α

4、不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案　A解析　A错误，如图1所示，在长方体中α⊥β，l∥α，但l⊂β；B正确，设α∩β＝l，则α内与l平行的直线都与β平行；C正确，由面面垂直的判定可知；D正确，如图2所示，在平面α内，作α与γ交线的垂线m，在平面β内作β与γ的交线的垂线n，由α⊥γ得m⊥γ，由β⊥γ得n⊥γ，所以m∥n.可推出m∥β，进而推出m∥l，所以l⊥γ.(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线

5、OM与AC，MN的位置关系是(　　)A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案　A解析　由AC⊥平面BB1D1D可得OM⊥AC.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a.则OM＝＝a，MN＝＝a.ON＝＝a，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.(3)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．答案　解析　连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．因为AB＝BC＝

6、2，所以A1C1＝AC＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝＝.(4)已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有______对．答案　4解析　由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，由于AC⊥平面PDB，平面PAC⊥平面PDB，共4对．题型　直线与平面的位置关系角度1　直线与平面所成的角1．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的

7、体积为(　　)A．8B．6C．8D．8答案　C解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，因为AB＝2，＝tan30°，所以BC1＝2，从而求得CC1＝＝2，所以该长方体的体积为V＝2×2×2＝8.故选C.角度2　直线与平面垂直的判定和性质2．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解　(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，

8、所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直