2019高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题1 三角函数、解三角形 第2讲 解三角形学案 文

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1、第2讲　解三角形高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型1：利用正、余弦定理解三角形2018全国卷ⅠT16；2018全国卷ⅡT7；2018全国卷ⅢT112017全国卷ⅠT11；2017全国卷ⅡT16；2017全国卷ⅢT152016全国卷ⅠT4；2016全国卷ⅡT15；2015全国卷ⅠT171.高考对此部分的考查为“一小”或“一大”，近三年高考以“一小”为主.2.小题出现在4－11或15－16题的位置上，有成为压轴小题的趋势.题型2：正、余弦定理的综合应用2016全国卷ⅢT9；2015全国卷ⅡT

2、17；2014全国卷ⅠT162014全国卷ⅡT173.解答题重点考查解三角形问题，出现在第17题位置上，难度中等.题型1　利用正、余弦定理解三角形■核心知识储备·1．正弦定理及其变形在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：cosA＝，b2＋c2－a2＝2bccosA.3．三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsi

3、nB.■高考考法示例·►角度一　求解三角形中的边角问题【例1－1】　(2016·全国卷Ⅱ)(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.　[在△ABC中，∵cosA＝，cosC＝，∴sinA＝，sinC＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.又∵＝，∴b＝＝＝.](2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋csinC－asinC＝bsinB.①求B；②若A＝75°，b

4、＝2，求a，c.[解]　①由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝，因此B＝45°.②sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.故a＝b×＝＝1＋.c＝b×＝2×＝.►角度二　与三角形有关的面积问题【例1－2】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．

5、　[由bsinC＋csinB＝4asinBsinC，得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为sinBsinC≠0，所以sinA＝.因为b2＋c2－a2＝8，cosA＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsinA＝××＝.](2)(2018·温州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.①求tanC的值；②若△ABC的面积为3，求b的值；[解]　①由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，∴－cos2B＝sin2

6、C，又由A＝，即B＋C＝，得－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2；②由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝，cosC＝，又∵sinB＝sin(A＋C)＝sin，∴sinB＝，由正弦定理得c＝b，又∵A＝，bcsinA＝3，∴bc＝6，故b＝3.[方法归纳]1．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．2．在三角形中，

7、正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA中，有b2＋c2和bc两项，二者的关系b2＋c2＝(b＋c)2－2bc经常用到．(教师备选)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．[解]　(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinC·sinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①②和C∈(0，π)得sin

8、B＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.■对点即时训练·1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)A．4　　　　　　B.C.D．2A　[因为cos＝，所以cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2A