2019高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题2 数列 第4讲 数列求和与综合问题学案 文

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1、第4讲　数列求和与综合问题高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型1：数列中an与Sn的关系2017全国卷ⅢT171.主要以解答题的形式考查.2.重点考查裂项相消法求和及数列中an与Sn的关系.题型2：裂项相消法求和2017全国卷ⅢT17题型3：错位相减法求和2014全国卷ⅠT17题型1　数列中an与Sn的关系■核心知识储备·数列{an}中，an与Sn的关系：an＝■高考考法示例·►角度一　已知Sn的关系式求an【例1－1】　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－，则an＝________.(2)已知数列{an}的前

2、n项和Sn＝2n2－3n＋k，则an＝________.(1)　(2)　[(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，a1＝1也适合上式，从而an＝.(2)当n＝1时，a1＝S1＝k－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋k)－[2(n－1)2－3(n－1)＋k]＝4n－5.因此an＝.]►角度二　已知Sn与an的关系求an【例1－2】　(1)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则an＝________.(2)(2018·成都模拟)数

3、列{an}满足a1＋＋＋…＋＝n2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.(1)3n－1　(2)2n3－n2　[(1)由解得a1＝1，a2＝3，当n≥2时，由已知可得：an＋1＝2Sn＋1，①an＝2Sn－1＋1，②①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an.又a2＝3a1，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．an＝3n－1.(2)当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，由a1＋＋＋…＋＝n2得a1＋＋＋…＋＝(n－1)2，两式相减得＝2n－1，所以an＝2n3－n2.又a1＝1满足上式，所以a

4、n＝2n3－n2.][方法归纳]　由an与Sn的关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合，则需统一表示(“合写”).(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝.■对点即时训练·1．(2018·中原名校模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3an＋1，则a10＝(　　)A．－　　　B．－　　　C.　　

5、　D.A　[由Sn＝3an＋1①，得Sn＋1＝3an＋1＋1②，②－①，得an＋1＝3an＋1－3an，得an＋1＝an，又a1＝3a1＋1，所以a1＝－，故数列{an}是以－为首项，为公比的等比数列，所以an＝n－1，故a10＝－×9＝－.故选A.]2．(2018·沈阳模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.－　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首项为－1，公差为

6、－1的等差数列．∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]题型2　裂项相消法求和■核心知识储备·1．裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．2．常见的裂项类型(1)＝；(2)＝；(3)＝(－)．■高考考法示例·【例2】　(2018·大连模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，若n∈N*时，anbn＋1－bn＋1＝nbn.(1)求{bn}的通项公式；(2)设cn＝，求{cn}的前n项和S

7、n.[解]　(1)因为anbn＋1－bn＋1＝nbn，当n＝1时a1b2－b2＝b1.因为b1＝1，b2＝，所以a1＝3，又因为{an}是公差为2的等差数列，所以an＝2n＋1，则(2n＋1)bn＋1－bn＋1＝nbn.化简，得2bn＋1＝bn，即＝，所以数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，所以bn＝n－1.(2)由(1)知，an＝2n＋1，所以cn＝＝＝，所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＝＝.(教师备选)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设

8、bn＝，求数列{bn}的前n项和．[解]　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由于an＞0，所以an＋1－an＝2.又由a＋2a1＝4a1＋3