2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题34 等差数列问题探究

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1、专题34等差数列问题探究【热点聚焦与扩展】等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3

2、）：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项（3）如果为等差数列，则注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等.比如，则不一定成立②利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项.例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.例如：，

3、递增；，递减.5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可（2）由通项公式可得：作用：①这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式②，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式.从而可将的变化规律图像化.（3）当时，因为而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当时，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和

4、公式入手分析（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：通过观察可得：为递增数列，且，所以所有的项均为正数，前项和只有最小值，即，同理中的项均为负数，所以前项和只有最大值，即.而虽然是递减数列，但因为，所以直到，从而前4项和最大，同理，的前5项和最小.由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前项和的最值会出现在项的符号分界处.（2）从的角度：通过配方可得，要注意，则可通过图像判断出的最值7、由等差数列生成的新等差数列（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例

5、如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列.如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距（2）已知等差数列，设，，则相邻项和成等差数列（3）已知为等差数列，则有：①为等差数列，其中为常数②为等差数列，其中为常数③为等差数列①②③可归纳为也为等差数列8、等差数列的判定：设数列，其前项和为（1）定义（递推公式）：（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）（3）前项和公式：注：若，则从第二项开始呈现等差关系（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项【经典例题】例1.【2017课标1，理4】记为等

6、差数列的前项和．若，，则的公差为（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.秒杀解析：因为，即，则，即，解得，故选C.【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.例2.【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则.【答案】【解析】【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，

7、而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.例3.【2018届福建省莆田市第二次检测】设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（）A.6B.7C.8D.13【答案】B点睛：该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.例

8、4.【2018届浙江省模拟测试】在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时，的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出，，由此能求出时，的最小值．详解：∵数列是等差数列，它的前项和有最小值∴公差，首项，为递增数列∵∴，由等差数列的性质知：，.∵∴当时，的最小值为16．故选C.例5.【2018届华大新高考联盟4月检测】已知等差数列的前项和为，若是一个与无关的常数，则该常数构成的集合为（）A