2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题54 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题

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1、专题54圆锥曲线的定点、定值、定直线问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题,高考对圆锥曲线的考查,一般设置一大一小两道题目,主要考查以下几个方面:一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义,与椭圆的焦点三角形结合,解决椭圆、三角形等相关问题;二是考查圆锥曲线的标准方程,结合基本量之间的关系,利用待定系数法求解;三是考查圆锥曲线的几何性质,小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质;四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题,综合性较强,往往与向量结合,涉及方程组联立,根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探

2、索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上,重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.(一)所谓定值问题,是指虽然圆锥曲线中的某些要素(通常可通过变量进行体现)有所变化,但在变化过程中,某个量的值保持不变即为定值.1、常见定值问题的处理方法:(1)确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否得到一个常数.2、定值问题的处理技巧:(1)对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值,进而给后面一般情况

3、的处理提供一个方向.(2)在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢(3)巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算(二)处理定点问题的思路:(1)确定题目中的核心变量(此处设为)(2)利用条件找到与过定点的曲线的联系,得到有关与的等式(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点,使得无论的值如何变化,等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形,直至易于找到.常见的变形方向如下:①若等式的形式为整式,则考虑将含的项归在一组,变形为“”的形式,从而只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含的分式,的取

4、值一方面可以考虑使其分子为0,从而分式与分母的取值无关;或者考虑让分子分母消去的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式)2、一些技巧与注意事项:(1)面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定点(或定直线).然后再验证该点(或该直线)对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.(2)有些题目所求与定值无关,但是在条件中会隐藏定点,且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时,要清楚该方程为一类曲线(或直线),从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中,要能够找到定点,抓住关键

5、条件.例如:直线,就应该能够意识到,进而直线绕定点旋转.(三)定直线问题是证明动点在定直线上,其实质是求动点的轨迹方程,所以所用的方法即为求轨迹方程的方法,如定义法、消参法、交轨法等.【经典例题】例1.【2018年理北京卷】已知抛物线C:=2px经过点(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,,,求证:为定值.【答案】(1)取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1)(2)证明过程见解析所以4=2p,解得p=2,所以抛

6、物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得.依题意,解得k<0或0

7、知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.例2.【2018届安徽省淮南市二模】已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,且抛物线上有一点到焦点的距离为6.(1)求该抛物线的方程;(2)已知抛物线上一点,过点作抛物线的两条弦和,且,判断直线是否过定点,并说明理由.【答案】(1);(2)过定点【解析】分析:(1)根据抛物线性质求出p,得出抛物线方程;(2)设MD斜率为k,联立方程组,求出D,E的坐标,得出直线DE的方程,从而得出结论.详解:(1)由题意设抛物线方程为,其准线方程为,设,则,同理可得,所以直线的方程为

8、化简的.直线过定点.点睛:(1)本题主要考查了抛物线的性质,考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题.(2)定点问题:对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点

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