圆锥曲线定点、定直线、定值问题

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1、完美WORD格式.整理定点、定直线、定值专题1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为，(II)设，由得，，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，，(最好是用向量点乘来)，，，解得，且满足.当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为2、已知椭圆C的离心率，

2、长轴的左右端点分别为，。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与.专业资料分享.完美WORD格式.整理交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（Ⅰ）设椭圆的方程为。…………………1分∵，，∴，。………………4分∴椭圆的方程为。………………………………………5分（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为…………7分,若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。…………………8分以下证明对于任意

3、的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。…………9分设与交于点由得设与交于点由得………10，……12分∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为…………………………………………7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。……………8分.专业资料分享.完美WORD格式.整理以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。………………9分的方程是的方程是消去得…①以下用分析法证明时，

4、①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明即证即证………………②∵∴②式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：（Ⅱ）由得即。记，则。……………6分的方程是的方程是……7分由得…………………9分即………………………………12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。………………13分3、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为﹒（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒.专业资料分

5、享.完美WORD格式.整理解：（I）设椭圆E的方程为,由已知得：。。。。。2分椭圆E的方程为。。。。3分（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：。。。。。5分①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由得7分所以9分对于任意的值，为定值，所以，得，所以；11分②当直线的斜率不存在时，直线由得综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为﹒13分法二：假设存在点，又设则：=….5分①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得7分9分设则11分.专业资料分享.完美WORD格式.整理②当直线的斜率为0时，直线，由得：

6、综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为。。。。13分4、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。（I）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：（I）设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为（Ⅱ）由（I）得，所以，设的方程为（）代入，得设则,由，当时，有成立。（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三

7、点共线。依题意知，直线BC的方程为，令，则的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得三点共线。解法二：（Ⅱ）由（I）得，所以。设的方程为代入，得设则.专业资料分享.完美WORD格式.整理当时，有成立。（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。设存在使得、、三点共线，则，，即，存在，使得三点共线。6、（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.本小题

8、主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。解：（I）圆过点O、F，M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得.专业资料分享.完美WORD格式.整理点G横坐标的取值范围为.专业资料分享.