圆锥曲线定点、定直线、定值问题

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1、WORD格式可编辑定点、定直线、定值专题1、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为,(II)设,由得,,.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,,(最好是用向量点乘来),,,解得,且满足.当时,,直线过定点与已知矛盾;当时,,直线过定点综上可知,直线过定点,定点坐标为2、已知椭圆C的离心率,长轴的左右端点分别为,。(Ⅰ)求椭圆C的方程;

2、(Ⅱ)设直线与椭圆C交于P、Q两点,直线与专业技术资料分享WORD格式可编辑交于点S。试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由。解法一:(Ⅰ)设椭圆的方程为。…………………1分∵,,∴,。………………4分∴椭圆的方程为。………………………………………5分(Ⅱ)取得,直线的方程是直线的方程是交点为…………7分,若,由对称性可知交点为若点在同一条直线上,则直线只能为。…………………8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上,由得即,记,则。…………9分设与交于点由得设与交于点由

3、得………10,……12分∴,即与重合,这说明,当变化时,点恒在定直线上。13分解法二:(Ⅱ)取得,直线的方程是直线的方程是交点为…………………………………………7分取得,直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上,则直线只能为。……………8分专业技术资料分享WORD格式可编辑以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上,由得即,记,则。………………9分的方程是的方程是消去得…①以下用分析法证明时,①式恒成立。要证明①式恒成立,只需证明即证即证………………②∵∴②式恒成立。这说明,当变化时,点恒在定直线上。解法三:(Ⅱ)由得即。记,则

4、。……………6分的方程是的方程是……7分由得…………………9分即………………………………12分这说明,当变化时,点恒在定直线上。………………13分3、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为,离心率为﹒(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点作直线交于、两点,试问:在轴上是否存在一个定点,为定值?若存在,求出这个定点的坐标;若不存在,请说明理由﹒专业技术资料分享WORD格式可编辑解:(I)设椭圆E的方程为,由已知得:。。。。。2分椭圆E的方程为。。。。3分(Ⅱ)法一:假设存在符合条件的点,又设,则:。。。。。5分①当直线的斜率存在时,

5、设直线的方程为:,则由得7分所以9分对于任意的值,为定值,所以,得,所以;11分②当直线的斜率不存在时,直线由得综上述①②知,符合条件的点存在,起坐标为﹒13分法二:假设存在点,又设则:=….5分①当直线的斜率不为0时,设直线的方程为,由得7分9分设则11分专业技术资料分享WORD格式可编辑②当直线的斜率为0时,直线,由得:综上述①②知,符合条件的点存在,其坐标为。。。。13分4、已知椭圆的焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率,过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆于、两点。(I)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设点是线段上的一个动点,且

6、,求的取值范围;(Ⅲ)设点是点关于轴的对称点,在轴上是否存在一个定点,使得、、三点共线?若存在,求出定点的坐标,若不存在,请说明理由。解法一:(I)设椭圆方程为,由题意知故椭圆方程为(Ⅱ)由(I)得,所以,设的方程为()代入,得设则,由,当时,有成立。(Ⅲ)在轴上存在定点,使得、、三点共线。依题意知,直线BC的方程为,令,则的方程为、在直线上,在轴上存在定点,使得三点共线。解法二:(Ⅱ)由(I)得,所以。设的方程为代入,得设则专业技术资料分享WORD格式可编辑当时,有成立。(Ⅲ)在轴上存在定点,使得、、三点共线。设存在使得、、三点共线,则,,即,存在

7、,使得三点共线。6、(福建卷)已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。(Ⅰ)求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程;(Ⅱ)设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。解:(I)圆过点O、F,M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为(II)设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得专业技术资料分享WORD格式可编辑

8、点G横坐标的取值范围为专业技术资料分享

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