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《2019年高中数学 第7章 数系的扩充与复数 7.4 复数的几何表示讲义(含解析)湘教版选修1 -2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.4复数的几何表示[读教材·填要点]1.复平面的定义建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面.x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应复平面内的点P(a,b); (2)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应平面向量=(a,b).3.复数的模复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为,则的模叫作复数z的模,记作
2、z
3、,且
4、z
5、=.4.共轭复数(1)定义及记忆:对于任意复数z=a+bi(a,b∈R),将复数a-bi称为原来的复数z的共轭复数,记作:
6、.(2)性质:①=z;②复平面上两点P,Q关于x轴对称⇔它们所代表的复数相互共轭.5.复数加减法的几何意义如图:设复数z1,z2对应向量分别为,,四边形OPSQ为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是,与z1-z2对应的向量是.[小问题·大思维]1.平面向量能够与复数一一对应的前提是什么?提示:向量的起点在原点.2.若复数(a-1)+ai(a∈R)在复平面内对应的点P在第二象限,则a的取值范围是什么?提示:由题意知即07、z18、与9、z210、之间有什么关系?提示:设z1=a+bi,则11、z2=a-bi,故12、z113、=14、z215、.4.什么数的共轭复数是它本身?提示:实数的共扼复数是它本身.5.从复数减法的几何意义理解:16、z1-z217、表示什么?提示:表示P1与P2两点间的距离.复数几何意义的应用求实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:(1)在复平面的第二象限内;(2)在复平面内的x轴上方.[自主解答] (1)点Z在复平面的第二象限内,则解得a<-3.(2)点Z在x轴上方,则即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3.本例中题设条件不变,求复数z表示的点在x轴上时,实数a的值.解:点Z在x18、轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5时,点Z在x轴上.探究复数z对应复平面内的点的位置如果Z是复平面内表示复数z=a+bi(a,b∈R)的点,则(1)当a>0,b>0时,点Z位于第一象限;当a<0,b>0时,点Z位于第二象限;当a<0,b<0时,点Z位于第三象限;当a>0,b<0时,点Z位于第四象限.(2)当a=0时,点Z在虚轴上;当b=0时,点Z在实轴上.(3)当b>0时,点Z位于实轴上面的半平面内;当b<0时,点Z位于实轴下面的半平面内.1.在复平面内,O是原点,若向量对应的复数z的实部为3,且19、20、=3,如果点A关于原21、点的对称点为点B,求向量对应的复数.解:根据题意设复数z=3+bi,由复数与复平面内的点、向量的对应关系得=(3,b),已知22、23、=3,即=3,解得b=0,故z=3,点A的坐标为(3,0).因此,点A关于原点的对称点为B(-3,0),所以向量对应的复数为z′=-3.复数模的求法(1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且24、z25、=,则复数z=( )A.1+2i B.-1-2iC.±1±2iD.1+2i或-1-2i(2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且26、z127、<28、z229、,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B30、.(-1,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)[自主解答] (1)依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由31、z32、=得=,解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.(2)因为33、z134、=,35、z236、==,所以<,即a2+4<5,所以a2<1,即-1<a<1.[答案] (1)D (2)B计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.2.已知复数z1=2+3i,z2=a-2+i,若37、z1-z238、<39、z140、,求实数a的取值范围.解:由条件可知z1-z2=(4-a)+2i.又41、z1-z242、43、<44、z145、,即<,解得1<a<7.所以实数a的取值范围是(1,7).共轭复数的应用设z∈C,为z的共轭复数,若z·+iz=,求z.[自主解答] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R).∵=3-i,∴(a+bi)(a-bi)+i(a+bi)=3-i.∴解得或∴z=-1-i或z=-1+2i.保持例题条件不变,求的值.解:当z=-1-i时,=-1+i,∴====-i;当z=-1+2i时,=-1-2i,∴====-+i.∴=-i或=-+i.此类题的常规思路为设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi;代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转46、化为方程(组)求解.3.已知z∈C,为z的共轭复数,若z·-3i=1+3i,求z.解:设z=a+bi(a,b
7、z1
8、与
9、z2
10、之间有什么关系?提示:设z1=a+bi,则
11、z2=a-bi,故
12、z1
13、=
14、z2
15、.4.什么数的共轭复数是它本身?提示:实数的共扼复数是它本身.5.从复数减法的几何意义理解:
16、z1-z2
17、表示什么?提示:表示P1与P2两点间的距离.复数几何意义的应用求实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:(1)在复平面的第二象限内;(2)在复平面内的x轴上方.[自主解答] (1)点Z在复平面的第二象限内,则解得a<-3.(2)点Z在x轴上方,则即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3.本例中题设条件不变,求复数z表示的点在x轴上时,实数a的值.解:点Z在x
18、轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5时,点Z在x轴上.探究复数z对应复平面内的点的位置如果Z是复平面内表示复数z=a+bi(a,b∈R)的点,则(1)当a>0,b>0时,点Z位于第一象限;当a<0,b>0时,点Z位于第二象限;当a<0,b<0时,点Z位于第三象限;当a>0,b<0时,点Z位于第四象限.(2)当a=0时,点Z在虚轴上;当b=0时,点Z在实轴上.(3)当b>0时,点Z位于实轴上面的半平面内;当b<0时,点Z位于实轴下面的半平面内.1.在复平面内,O是原点,若向量对应的复数z的实部为3,且
19、
20、=3,如果点A关于原
21、点的对称点为点B,求向量对应的复数.解:根据题意设复数z=3+bi,由复数与复平面内的点、向量的对应关系得=(3,b),已知
22、
23、=3,即=3,解得b=0,故z=3,点A的坐标为(3,0).因此,点A关于原点的对称点为B(-3,0),所以向量对应的复数为z′=-3.复数模的求法(1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且
24、z
25、=,则复数z=( )A.1+2i B.-1-2iC.±1±2iD.1+2i或-1-2i(2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且
26、z1
27、<
28、z2
29、,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B
30、.(-1,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)[自主解答] (1)依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由
31、z
32、=得=,解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.(2)因为
33、z1
34、=,
35、z2
36、==,所以<,即a2+4<5,所以a2<1,即-1<a<1.[答案] (1)D (2)B计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利用模的公式进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.2.已知复数z1=2+3i,z2=a-2+i,若
37、z1-z2
38、<
39、z1
40、,求实数a的取值范围.解:由条件可知z1-z2=(4-a)+2i.又
41、z1-z2
42、
43、<
44、z1
45、,即<,解得1<a<7.所以实数a的取值范围是(1,7).共轭复数的应用设z∈C,为z的共轭复数,若z·+iz=,求z.[自主解答] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R).∵=3-i,∴(a+bi)(a-bi)+i(a+bi)=3-i.∴解得或∴z=-1-i或z=-1+2i.保持例题条件不变,求的值.解:当z=-1-i时,=-1+i,∴====-i;当z=-1+2i时,=-1-2i,∴====-+i.∴=-i或=-+i.此类题的常规思路为设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi;代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转
46、化为方程(组)求解.3.已知z∈C,为z的共轭复数,若z·-3i=1+3i,求z.解:设z=a+bi(a,b
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