2019年高中数学 第8章 统计与概率 8.2 概率 8.2.5 几个常用的分布讲义(含解析)湘教版选修2-3

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1、8.2.5 几个常用的分布[读教材·填要点]1.两点分布B(1,p)如果X只取值0或1,概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,p∈(0,1),就称X服从两点分布,记作X~B(1,p).2.二项分布B(n,p)设某试验成功的概率为p,p∈(0,1),将该试验独立重复n次,用X表示试验成功的次数,则X有概率分布:P(X=k)=Cpkqn-k,k=0,1,2,…,n,其中q=1-p,这时,我们称X服从二项分布,记作X~B(n,p).3.超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,

2、2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.称分布列X01…mP…为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,就称X服从超几何分布,记作X~H(N,M,n).[小问题·大思维]1.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗?提示:在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的.2.二项分布与两点分布的关系是什么?提示:二项分布是指n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率分布列,需要在相同条件下做n次试验,两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布.两者的含义不同,将两点分布的试验进行

3、n次,恰好发生k次的概率分布就成了二项分布.两点分布[例1] 已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列.[解] 由题意知,X服从两点分布,P(X=0)==,所以P(X=1)=1-=.所以随机变量X的分布列为X01P两点分布的4个特点(1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的;(2)两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0;(3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0));(4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只

4、关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它.1.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=求X的概率分布.解:显然X服从两点分布,P(X=0)==.∴P(X=1)=1-=,∴X的概率分布为:X01P二项分布[例2] 甲、乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛,比赛没有平局.设甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.已知比赛中,乙赢了第一局比赛.(1)求甲获胜的概率;(用分数作答)(2)设比赛总的局数为X,求X的概率分布.[解] (1)甲获胜的概率P=3+C··3=.(2)由题意知,X=3,4,5P(X=3)=2=,P(X=4)=3+C··2=,P(X

5、=5)=C22+C··3=.∴X的概率分布为:X345P二项分布中“X=k”表示在n次独立重复试验中事件恰好发生k次,其特点是:①一次试验中只有两种可能结果;②事件在每次观察中出现的概率相等;③随机变量X只取有限个实数.2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为.某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心,且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数X的分布列.解:由题意可知:X~B,所以P(X=k)=Ck·3-k,k=0,1,2,3.即P(X=0)=C×0×3=;P(X=1)=C××2=;P(X=2)=C×2×=;P(X=3)=C×3=.分布列为X0123P超几何分

6、布[例3] 某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.[解] 设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)依据条件,随机变量X服从超几何分布,其中N=10,M=4,n=3,且随机变量X的可能值为0,1,2,

7、3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是X0123P求解超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布.(2)在超几何分布公式中P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n}.这里N是产品总数,M是产品中次品数,n是抽样的样品数.(3)如果随机变量X服从超几何分布,只要代入公式即可求得相应概率,关键是明确随机变量X的所有取值.(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示.3.袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,设取到一个红球得

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