2018-2019高中数学第2章平面向量章末复习学案苏教版必修4

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1、第2章平面向量章末复习学习目标　1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用．1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘(1)

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λa＝(λx1，λy1)向量的数量积运算a·b

8、＝

9、a

10、

11、b

12、cosθ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积a·b＝x1x2＋y1y22．两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(2)向量共线定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.3．向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，

13、y2)，a∥b有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0)x1y2－x2y1＝0a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝01．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　)提示　平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底．2．若向量和向量共线，则A，B，C，D四点在同一直线上．(　×　)提示　也可能AB∥CD.3．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　×　)4．若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)提示　当a，b同向共线时，a·b>0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，a·b<0，但a和b的夹角为π.类型一　向量的线性运算例1　如图所示，在△ABC中，＝，P

14、是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．答案　解析　设＝λ，则＝＋＝－＋m＋＝(m－1)＋.＝＋＝－＋.∵与共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝.反思与感悟　向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．跟踪训练1　如图，在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得＝＋，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由．解　假设存在D点，使得＝＋.＝＋⇒＝＋(＋)＝＋⇒－＝⇒＝⇒＝×⇒＝.所以当点D为AC的三等分点时，＝＋.类型二　向量的数量积运算例2　已知a＝(cosα，sinα)

15、，b＝(cosβ，sinβ)，且

16、ka＋b

17、＝

18、a－kb

19、(k>0)．(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．解　(1)由

20、ka＋b

21、＝

22、a－kb

23、，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵

24、a

25、＝＝1，

26、b

27、＝＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝＝.(2)a·b＝＝.由对勾函数的单调性可知，f(k)＝在(0，1]上单调减，在[1，＋∞)上单调增，∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，此时a与b的夹

28、角θ的余弦值cosθ＝＝，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.反思与感悟　数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题①设a＝(x1，y1)，则

29、a

30、＝.②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)cosθ＝＝.跟踪训练2　已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．解　(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三

31、点不共线，∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))，∴＝(3，1)，＝(－m－1，－m)，∵与不平行，∴－3m≠－m－1，解得m≠，∴当实数m≠时满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，而＝(3，1)，＝(2－m，1－m)，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.类型三　向量坐标法在平面几何中的应用例3　已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，