2018-2019学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 导数的概念 1.1.1 平均变化率讲义（含解析）苏教版选修2-2

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1、1．1.1　平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？提示：Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0.问题2：如何用Δx和Δy来刻画山路的陡峭程度？提示：对于山坡AB，可用来近似刻画山路的陡峭程度．问题3：试想＝的几何意义是什么？提示：＝表示直线AB的斜

2、率．问题4：从A到B，从A到C，两者的相同吗？的值与山路的陡峭程度有什么关系？提示：不相同.的值越大，山路越陡峭．1．一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：(1)函数在[x1，x2]上有意义；(2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x1取定值后，x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x2取定值后，x1取不同的

3、数值时，函数的平均变化率也不一定相同．求函数在某区间的平均变化率[例1]　(1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率．[思路点拨]　求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率．[精解详析]　(1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：＝＝12.3.(2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为＝＝＝3.[一点通]　求函数平均变化率的步骤为：第一步：求自变量的改变量x2－x1；第二步：求函

4、数值的改变量f(x2)－f(x1)；第三步：求平均变化率.1．函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率是________．解析：函数g(x)＝－3x在[2,4]上的平均变化率为＝＝＝－3.答案：－32.如图是函数y＝f(x)的图象，则：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.答案

5、：：(1)　(2)3．本例条件不变，分别计算f(x)与g(x)在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小．解：(1)＝＝9.(2)＝＝3.f(x)比g(x)在[1,2]上的平均变化率大．实际问题中的平均变化率[例2]　物体的运动方程为S＝(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度．[思路点拨]　求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值．[精解详析]　物体在[1,1＋Δt]内的平均速度为＝＝＝＝(m/s)．即物体在t＝1s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速

6、度为m/s.[一点通]　平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．4．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．解析：∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为＝＝0.4π.答案：0.4π5．在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？解：赛车在[20,20.1]上的平均速度为＝＝＝210.5(

7、m/s)．函数平均变化率的应用[例3]　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？[思路点拨]　要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．[精解详析]　在t0处s1(t0)＝s2(t0)，但<，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．[一点通]　平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化

8、率越慢．6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系是________．解析：＝＝kOA，