2019-2020年高中数学(北师大版)选修1-2教案:第3章 拓展资料:高考中的类比推理

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1、2019-2020年高中数学(北师大版)选修1-2教案:第3章拓展资料:高考中的类比推理大数学家波利亚说过:“类比是某种类型的相似性,是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉,是一种较高层次的信息迁移。例1、(xx湖北)半径为r的圆的面积,周长,若将r看作上的变量,则,①,①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球,若将R看作看作上的变量,请你写出类似于①的式子:_________________,②,

2、②式可用语言叙述为___________.解:由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式,类似写出恰好成立,.答案:①②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。点评:主要考查类比意识考查学生分散思维,注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2.(2000年上海高考第12题)在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n(n<19,n∈N*)成立。类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式成立。分析:这是由一类事物(等差数列)到与其相似的一类事物

3、(等比数列)间的类比。在等差数列{an}前19项中,其中间一项a10=0,则a1+a19=a2+a18=……=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,所以a1+a2+……+an+……+a19=0,即a1+a2+……+an=-a19-a18-…-an+1,又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1,∴a1+a2+……+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+…+a19-n。相似地,在等比数列{bn}的前17项中,b9=1为其中间项,则可得b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17

4、,n∈N*)。例3.(2003年全国高考新课程卷文科第15题)在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2。”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则________________”。分析:这是由低维(平面)到高维(空间)之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中(当然必须经过论证其正确性),像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中,

5、则有S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2。需要指出的是,勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt△ABC中,过A作AH⊥BC于H,则由AB2=BH·BC,AC2=CH·BC相加即得AB2+AC2=BC2;在三侧面两两垂直的三棱锥A—BCD中,过A作AH⊥平面BCD于H,类似地由S△ABC2=S△HBC·S△BCD,S△ACD2=S△HCD·S△BCD,S△ADB2=S△HDB·S△BCD相加即得S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2。例4、(xx上海)已知函数有如下性质:如果常数a>o,那么该函

6、数在上是减函数,在上是增函数。(1)如果函数的值域为,求b的值;(2)研究函数(常数在定义域内的单调性,并说明理由;(3)对函数和(常数作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例,研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明)。解:(1)函数在上是减函数,在上是增函数,所以该函数在处取得最小值令,得(2)设,显然函数在上是减函数,在上是增函数,令得,令得或又因为在上是减函数,在上是增函数,于是利用复合函数的单调性知,函数在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数,上是增函数。(3)推广结论:当n是正奇数时,函数(常数是奇函数

7、,故在上是增函数,在是减函数,在上是减函数,在上是增函数。而当n为正偶数时,函数(常数是偶函数,在上是减函数,在是增函数,在上是减函数,在上是增函数。点评:本题设计新颖,层层递进,主要考查函数的单调性、最值,考查分析解决问题的能力。

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