2019-2020年高三高考保温金卷 数学理

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2019-2020年高三高考保温金卷数学理一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.全集U={1，2，3}，M={x|x2-3x+2=0}，则∁UM等于（　　）A.{1}     B.{1，2}   C.{2}     D.{3}2.已知复数为纯虚数，那么实数a的值为（　　）A.-1     B.0      C.1      D.23.已知，则cos（60°-α）的值为（　　）A. B. C. D.-4.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（　　）A. B. C. D.5.已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）A.      B.3      C.      D.66.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（　　）A.     B.26     C.80     D.7.函数y=的图象大致是(　　)A. B. C. D.8.设a=0.64.2，b=70.6，c=log0.67，则a，b，c的大小关系是（　　）A.c＜b＜a   B.c＜a＜b   C.a＜c＜b   D.a＜b＜c 9.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（　　）A.13     B.11     C.9      D.710.已知抛物线C：y2=4x的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若，则直线PQ的斜率是（　　）A.      B.1      C.      D.11.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面的边长都为，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），f（x）在区间（0，2]上只有一个最大值1和一个最小值-1，则实数ω的取值范围为（　　）A.[，） B.[，π） C.[，） D.[，]二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量，，，若∥，则k=______．14.的展开式的常数项为______．15.已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组表示的平面区域内，且（O为坐标原点）的最大值为2，则m=______．16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc，，，则b+c的取值范围是______．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知函数f（x）=，数列{an}是首项等于1且公比等于f（1）的等比数列；数列{bn}首项b1=，满足递推关系bn+1=f（bn）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．18.某超市从xx1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．19.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=．（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角A-BE-P的大小．20.曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（-，0），F2（，0）抛物线C2的焦点是直线y=x-1与x轴的交点，顶点为原点O．（1）求C1，C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 21.设函数f（x）=ex（x2-x+1）（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．22.在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r=1，点P在圆C上运动．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程． 成安一中xx保温金卷理科数学答案和解析【答案】1.D    2.B    3.C    4.B    5.A    6.D    7.C    8.B    9.C    10.D    11.B    12.A    13.514.8815.16.（，）17.解：（Ⅰ）函数f（x）=，则：f（1）=由于：数列{an}是首项等于1且公比等于f（1）的等比数列，所以：数列{bn}首项b1=，满足递推关系bn+1=f（bn）．则：整理得：所以：{}是以为首项，3为公差的等差数列．解得：（Ⅱ）则：Tn=c1+c2+…+cn=n-1①=n②则：①-②得：所以：18.解：（Ⅰ）由各小矩形面积和为1，得（0.010+a+0.020+0.025+0.030）×10=1，解得a=0.015，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在20-30箱，故s12＞s22．（II）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．∴P（C）=P（）P（B）+P（A）P（）=0.42．（III）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B（3，0.3）P（X=k）=，∴P（X=0）=0.343，P（X=1）=0.441，P（X=2）=0.189，P（X=3）=0.027，∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027E（X）=3×0.3=0.9．19.证明：（I）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE，而PA∩AB=A，因此 BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．解：（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．在Rt△PAB中，．． 故二面角A-BE-P的大小为60°．20.解：（1）∵曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（-，0），F2（，0），∴曲线C1是以F1（-，0），F2（，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，∴a=2，c=，∴b2=4-3=1，∴曲线C1的方程为．∵抛物线C2的焦点是直线y=x-1与x轴的交点，顶点为原点O，∴抛物线C2的焦点是F（1，0）∴抛物线C2的标准方程为：y2=4x．…（6分）（2）假设存在存在直线直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足⊥，当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，不满足条件；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），由，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，=k2[x1x2-（x1+x2）+1]，∵⊥，∴=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2=-+k2=0，解得k=2或k=-2，∴直线l满足条件，且l的方程为y=2x-2或y=-2x+2．…（13分）21.解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），…（1分）f′（x）=ex （x2-x+1）+ex （2x-1）=ex （x2+x）． …（3分）由x2+x=0得x=-1，x=0，又ex＞0，∴若x＜-1，则f′（x）＞0；若-1＜x＜0，则f′（x）＜0；若x＞0，则f′（x）＞0．∴f（x）的增区间为（-∞，-1）和（0，﹢∞），减区间为（-1，0）．  …（8分）（2）由（1）知f（x）在[-1，1]上的最小值为f（0），∴[f（x）]min=f（0）=1，∴当m＜1时，不等式f（x）＞m恒成立．即实数m的取值范围是（-∞，1）．  …（12分）22.解：（Ⅰ）设点P的极坐标为（ρ，θ），由余弦定理得，即，∴圆C的极坐标方程为．（Ⅱ）在直角坐标系中，圆心，圆C的方程为．设Q（x，y），则P（2x，2y），由点P在圆C上得，即，故点Q轨迹的直角坐标方程为． 【解析】1.解：由集合M中的方程解得：x=1或x=2，即M={1，2}，∵全集U={1，2，3}，∴∁UM={3}．故选D求出集合M中方程的解确定出M，根据全集U求出M的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.解：∵=为纯虚数．∴a=0．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.解：cos（60°-α）=sin[90°-（60°-α）]=sin（30°+α）=，故选C．利用诱导公式把要求的式子化为sin（30°+α），利用条件求得结果．本题主要考查利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题．4.解：由题意，甲获得冠军的概率为×+×+×=，其中比赛进行了3局的概率为×+×=，∴所求概率为=，故选B．求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．5.解：双曲线的a=，b=，c=，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=x，则F到渐近线的距离为d==，故选A．求出双曲线的a，b，c，可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到． 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．6.解：由三视图可得几何体的直观图如图所示，连接AC，且AP=2、BE=4，底面ABCD是边长为4的正方形，BE∥AP，AP⊥平面ABCD，所以VC-ABEP==16，VP-ACD==，所以几何体的体积V=16+=，故选D．由三视图画出几何体的直观图，并求出线段的长度、判断出线面的位置关系，由分割法和椎体的体积公式求出此几何体的体积．本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7.试题分析：函数为奇函数，首先作出函数y=在区间上的图象，由于函数图象关于原点对称，得出图象．由于，∴函数是奇函数，其图象关于原点对称．又当时，，当时，，∴原函数在上是增函数，在上是减函数，首先作出函数y=在区间上的图象，由于此函数为奇函数，所以在上的图象与函数在上的图象关于原点对称．故选C．8.解：由于a=0.64.2∈（0，1），b=70.6＞70=1，c=log0.67＜log0.61=0，故有c＜a＜b，故选B．根据a=0.64.2∈（0，1），b=70.6＞70=1，c=log0.67＜log0.61=0，从而得到a，b，c的大小关系．本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，属于基础题． 9.解：执行程序框图，有S=2+lg＞1，i=3S=2+lg+lg＞1，i=5S=2+lg+lg+lg＞1，i=7S=2+lg+lg+lg+lg＞1，i=9S=2+lg+lg+lg+lg+lg＜1，退出循环，输出i的值为9．故选C．执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，满足条件S＜1，退出循环，输出i的值．本题主要考查了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．10.解：过点P，Q分别作抛物线的准线l：x=-1的垂线，垂足分别是P1、Q1，由抛物线的|Q1Q|=|QF|定义可知，|P1P|=|FP|，设|PF|=k（k＞0），，则|FQ|=3k，又过点P作PR⊥Q1Q于点R，则在直角△PRQ中，|RQ|=2k，|PQ|=4k，所以∠，所以直线QP的倾斜角为，所以直线PQ的斜率是，故选：D．过点P，Q分别作抛物线的准线l：x=-1的垂线，垂足分别是P1、Q1，由抛物线的|Q1Q|=|QF|定义可知，|P1P|=|FP|，设|PF|=k（k＞0），则|FQ|=3k，在直角△PRQ中求解直线PQ的倾斜角然后求解斜率．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵=．∴V三棱柱ABC-A1B1C1=AA1，解得AA1=．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P=1，在Rt△AA1P中，tan∠APA1==，∴∠APA1=60°．故选B．利用三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=，可得结论．本题考查线面角，掌握正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．12.解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），当x∈（0，2]时，＜ωx+≤2ω+；又函数f（x）在区间（0，2]上只有一个最大值1和一个最小值-1，∴≤2ω+＜，解得≤ω＜，∴实数ω的取值范围是[，）．故选：A．根据函数f（x）的解析式，利用x的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出ω的取值范围．本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．13.解：向量，，，若∥， 可得3（3-k）=1-7，解得k=5．故答案为：5直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．14.解：的展开式的通项公式为Tr+1=C5r•（x+）r•（-2）5-r，（x+）r展开式的通项公式为Tk+1=Crk•x当r-k=0时，得到k=r，当r=0时，k=0，此时C50•（x+）0•（-2）5=-32，当r=3时，k=2，此时常数项为=C53•（-2）2，C32=120，的展开式的常数项为120-32=88，故答案为：88．令r=0，3，即可求出展开式的常数项本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15.解：，令x+my=z，作出不等式组表示的可行域，由解得A（，），当m≥0时，目标函数在A处取得最大值2．分析知当时，zmax=2．所以，解之得或（舍去），所以．故答案为：．利用向量的数量积化简表达式，得到目标函数，画出可行域，利用最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查目标函数的最值的求法，值域可行域以及目标函数的最优解是解题的关键．16.解：△ABC中，∵b2+c2-a2=bc，∴cosA==，∴A=，B+C=．∵，∴∠B为钝角．∵，由正弦定理可得=1==，∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（-B）=sinB+cosB+sinB=sinB+cosB=sin（B+），∵B∈（，），∴B+∈（，），∴sin（B+）∈（，），∴b+c的范围为，故答案为：（，）．利用b2+c2-a2=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，再利用正弦定理求得b、c，利用两角和差的正弦公式化简b+c的解析式，结合正弦函数的定义域和值域，求得b+c的范围．本题主要考查了余弦定理的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．17.（Ⅰ）直接根据已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用上步的结论，使用乘公比错位相减法求出结果．本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用，属于基础题型．18.（Ⅰ）利用频率分布直方图的性质即可得出． （Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，利用二项分布列的性质求出概率，得到分布列，然后求解期望．本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的概率计算公式数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（I）连接BD，由已知中四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，我们可得BE⊥AB，PA⊥BE，由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAB，再由面面平行的判定定理可得平面PBE⊥平面PAB；（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，进而PB⊥BE，可得∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．解Rt△PAB即可得到二面角A-BE-P的大小．本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，平面与平面垂直的判定，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的转换，（II）的关键是构造出∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．20.（1）由已知得曲线C1是以F1（-，0），F2（，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，抛物线C2的焦点是F（1，0），顶点为原点O．由此能求出求C1，C2的标准方程．（2）设直线l的方程为y=k（x-1），由，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，由此利用韦达定理结合向量垂直数量积为0的性质能求出直线l的方程．本题考查椭圆、抛物线的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意圆锥曲线的性质和韦达定理、向量垂直的性质的合理运用．21.（1）求出函数的定义域，函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间．（2）利用（1）的结果，直接求解函数的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及闭区间上的函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．22.（I）利用余弦定理即可得出．（II）在直角坐标系中，圆心，可得圆C的方程，设Q（x，y），则P（2x，2y），代入圆的方程即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．