2019-2020年高中数学人教A版选修4-5教学案：第二讲 三 反证法与放缩法

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1、2019-2020年高中数学人教A版选修4-5教学案：第二讲三反证法与放缩法　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P241．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些

2、部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P24利用反证法证明不等式[例1]　已知f(x)＝x2＋px＋q.求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)

3、f(1)

4、，f

5、(2)

6、，

7、f(3)

8、中至少有一个不小于.[思路点拨]　“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．[证明]　(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)

9、－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设

10、f(1)

11、，

12、f(2)

13、，

14、f(3)

15、都小于，则

16、f(1)

17、＋2

18、f(2)

19、＋

20、f(3)

21、<2.而

22、f(1)

23、＋2

24、f(2)

25、＋

26、f(3)

27、≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，∴

28、f(1)

29、，

30、f(2)

31、，

32、f(3)

33、中至少有一个不小于.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a，b，

34、c不全为0的等价条件为(　　)A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．答案：D2．证明：三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，则a，b，c不可能成等比数列．证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.又∵a，b，c成等差数列∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)．∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立．∴a，b

35、，c不可能成等比数列．3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)b.当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．∴a(x＋

36、y＋z)．[思路点拨]　解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．[证明]　＝≥＝

37、x＋

38、≥x＋.同理可得：≥y＋，≥z＋，由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：＋＋>＋＋＝(x＋y＋z)．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数

39、，从而达到证明不等式的目的．4．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1.证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜.当k＝1时，≤＜；当k＝2时，≤＜；…当k＝n时，≤＜，∴将以上n个不等式相加得：＝≤＋＋…＋＜＝1.5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证：

40、f(a)－f(b)

41、<

42、a－b

43、.证明：

44、f(a)－f(b)

45、＝

46、a2－a－b2＋b

47、＝

48、(a－b)(a＋b－1)

49、＝

50、a－b

51、

52、a＋b－1

53、∵0≤a≤1,0≤b≤1　∴0≤a＋b≤2，－1≤a＋b－1≤1，

54、a＋b－1

55、≤1.∴

56、f(a)－f(b)

57、≤

58、a－b

59、

60、.　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P251．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数(　　)A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是