2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座 第十九讲 转化灵活的圆中角

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1、2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座第十九讲转化灵活的圆中角角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化．根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来．熟悉以下基本图形、基本结论．注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这

2、两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨．【例题求解】【例1】如图，直线AB与⊙O相交于A，B再点，点O在AB上，点C在⊙O上，且∠AOC＝40°，点E是直线AB上一个动点(与点O不重合)，直线EC交⊙O于另一点D，则使DE=DO的点正共有个．思路点拨在直线AB上使DE=DO的动点E与⊙O有怎样的位置关系?分点E在AB上(E在⊙O内)、在BA或AB的延长线上(E点在⊙O外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E点位置、存在的个数．注：弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．【例2】如图，已知△ABC为等腰直角三

3、形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M，对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③；④2BM2=BF×BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个思路点拨充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择．【例3】如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面积

4、．思路点拨由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例的关键．【例4】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D(AD

5、是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．【例5】如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF的交点为P．求证：（1）；(2)．思路点拨解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形．(1)证明△QDE∽△ACF；(2)易证，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明．注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有：(1)利用圆的定义判定；(2)利用圆内接四边

6、形性质的逆命题判定．学历训练1．一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．2．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的一点，则∠1+∠2=．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为．4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，设⊙O的半径为，AB的长为，用的代数式表示，=．5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于()A．120°B．136°C．144°D．150°6．如图，⊙O中，弦AD∥BC

7、，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BOC等于()A．20°B．30°C．40°D．50°7．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=，BC=2，则∠D的度数为()A．60°B．120°C．135°D．150°⌒⌒8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数