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时间:2019-11-09
《河南省2019年中考数学专题复习 专题八 二次函数综合题训练》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题八 二次函数综合题类型一新定义问题(xx·河南)如图,直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐
2、点”的m的值.例1题图备用图【分析】(1)把A点坐标代入直线解析式可求得c,则可求得B点坐标,由点A,B的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)①由M点坐标可表示点P,N的坐标,从而可表示出MA,MP,PN,PB的长,分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况,分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程,可求得m的值;②用m可表示出点M,P,N的坐标,由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点,可分别得到关于m的方程,即可求得m的值.【自主解答】解:(1)∵y=-x+c过点A(3,0),与
3、y轴交于点B,∴0=-2+c,解得c=2,∴B(0,2).∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)①由(1)可知直线的解析式为y=-x+2,∵M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.∴P(m,-m+2),N(m,-m2+m+2),∴PM=-m+2,AM=3-m,PN=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+4m,∵△BPN和△APM相似,且∠BPN=∠APM,∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°.当∠BNP=90
4、°时,则有BN⊥MN,∴N点的纵坐标为2,∴-m2+m+2=2,解得m=0(舍去)或m=2.5,∴M(2.5,0);当∠NBP=90°时,过点N作NC⊥y轴于点C,例1题解图则∠NBC+∠BNC=90°,NC=m,BC=-m2+m+2-2=-m2+m,∵∠NBP=90°,∴∠NBC+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠BNC,∴Rt△NCB~Rt△BOA,∴=,∴=,解得m=0(舍去)或m=.∴M(,0);综上可知,当以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似时,点M的坐标为(2.5,0)或(,0);②由①可知M(m,0),P(m,
5、-m+2),N(m,-m2+m+2),∵M,P,N三点为“共谐点”,∴当P为线段MN的中点时,则有2(-m+2)=-m2+m+2,解得m=3(三点重合,舍去)或m=;当M为线段PN的中点时,则有-m+2+(-m2+m+2)=0,解得m=3(舍去)或m=-1;当N为线段PM的中点时,则有-m+2=2(-m2+m+2),解得m=3(舍去)或m=-.综上可知,当M,P,N三点成为“共谐点”时,m的值为或-1或-.1.(xx·河南)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的
6、一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F,点D,E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.(1)请直接写出抛物线的解析式;(2)小明探究点P的位置发现:当P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值,进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值,请你判断该猜想是否正确,并说明理由;(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标.第1题图备
7、用图2.(xx·崇仁一中二模)如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2称为“伴随抛物线”,可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条.(1)抛物线L1:y=-x2+4x-3与抛物线L2是“伴随抛物线”,且抛物线L2的顶点B的横坐标为4,求抛物线L2的表达式;(2)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由;(3)在图②中,已知抛物线L1:y=mx2-2mx-
8、3m(m>0)与y轴相交于点C,它的一条“伴随抛物线”为L2,抛物线L2与y轴相交于点D.若CD=4m,求抛物线L2的对称轴.图①图②3.(xx·郑州模拟)如图,已知点C(0,3),抛物线的顶点为A(2,0),与y轴交于点B(0,1),点P是抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥
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