浙江专用高考数学大一轮复习第四章导数及其应用第3节导数与函数的极值最值习题含解析

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1、第3节　导数与函数的极值、最值考试要求　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知识梳理1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f

2、′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.[常用结论与易错提醒]1.若函数f(x)的

3、图象连续不断，则f(x)在[a，b]内一定有最值.2.若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.5.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　)(2)函数的极大值不一定比极小值大.(　　)(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0

4、为极值点的充要条件.(　　)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(　　)解析　(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一；(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2.(选修2－2P32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)A.1　　B.2C.3　　D.4解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案　A3.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有(　　)A.极小值－1，极大值1B

5、.极小值－2，极大值3C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值3解析　因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3.答案　D4.函数f(x)＝lnx－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.解析　∵f′(x)＝－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验符合题意.答案　15.已知函数f

6、(x)＝x2＋(a＋4)x－2lnx在区间(1，2)上存在最值，则实数a的取值范围是________.解析　∵f′(x)＝3x＋(a＋4)－＝，故可将题意等价的转化为f′(1)·f′(2)<0，即(a＋5)(a＋9)<0，解得－9

7、)<0，f(x)单调递减，x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，则f(x)min＝f＝－.答案　xlnx　－考点一　用导数解决函数的极值问题【例1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2－2x－4lnx；(2)f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0).解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝，令f′(x)＝0得x＝2或－1(舍).随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值∴f(x)有极小值f(2)＝－4ln2，无极大值.(2)由题设