浙江专用高考数学复习第二章不等式第1节不等关系与不等式一元二次不等式及其解法习题含解析

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1、第1节　不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法考试要求　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a＞

2、b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x

3、x1＜x＜x2}∅∅[常用结论与易错提醒]1.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要

4、忘记讨论a＝0时的情形.2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2.(3)若方

5、程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)A.＞B.＜C.＞D.＜解析　因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.故选B.答案　B3.当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为(　　)A.－2B.－3C.－1D.－解析　当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，

6、不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立，当Δ＝a2－4＞0，则需解得a＞2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立的实数a的最小值是－2.答案　A4.(2017·上海卷)不等式>1的解集为________.解析　1－>1⇒<0⇒x<0，解集为(－∞，0).答案　(－∞，0)5.若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＝________，b＝________.解析　由题意知，方程ax2＋bx＋2＝0的两根为x1＝－，x2＝，则解得答案　－12　－26.(必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实

7、数根，则m的取值范围是________.解析　由题意知Δ＝[－(m＋1)]2＋4m＞0.即m2＋6m＋1＞0，解得m＞－3＋2或m＜－3－2.答案　(－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞)考点一　比较大小及不等式的性质的应用【例1】(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)(2019·衢州二中二模)已知非负实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则(c－a)(c－b)的取值范围为________.解析　(1)∵c－b＝4－4a＋a2

8、＝(2－a)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，∴b>a，∴c≥b>a.(2)因为a，b，c为非负实数，且a＋b＋c＝1，则a＋b＝1－c，0≤c≤1，故

9、(c－a)(c－b)

10、＝

11、c－a

12、

13、c－b

14、≤c2≤1，即－1≤(c－a)(c－b)≤1；又(c－a)(c－b)＝c2－(1－c)c＋ab≥2－≥－.综上，有－≤(c－a)(c－b)≤1.答案　(1)A　(2)规律方法　(1)比较大小常用的方法：①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：

15、一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】(1)已知p＝a＋，q＝，其中a