新课标2020届高考数学复习不等式选讲题组层级快练78不等式的证明文含解析

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1、题组层级快练(七十八)1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　　)A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11B．a2＋≥a＋C．

2、a－b

3、＋≥2D.－<－答案　C解析　(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇐(a4－a3)＋(1－a)≥0⇐a3(a－1)－(a－1)≥0⇐(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当ab>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y

4、的大小关系是(　　)A．x>y　　　　　　B．xb>1，∴a－b>0，ab－1>0，ab>0，∴x－y>0即x>y，故选A.另解：考察f(x)＝x＋(x>1)．∵f′(x)＝1－＝>0，∴f(x)为增函数．又a>b>1，∴f(a)>f(b)，即x>y.故选A.3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案　2解析　(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab

5、mn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝时等号成立)．4．(2019·沧州七校联考)若logxy＝－2，则x＋y的最小值为________．答案　解析　由logxy＝－2，得y＝.而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，当且仅当＝即x＝时取等号．所以x＋y的最小值为.5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．答案　解析　方法一：(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3.当且仅当a＝b＝c时取等号成立．方法二：柯西不等式：(＋＋)2＝(1×＋

6、1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．答案　12解析　由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.7．(2019·江苏南通联考)已知x>0，y>0，a∈R，b∈R.求证：()2≤.答案　略证明　因为x>0，y>0，所以x＋y>0.所以要证()2≤，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，即证xy(a2－2ab＋b2)≥0

7、，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．故()2≤.8．(2019·福建质量检查)若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.(1)求abc的最大值；(2)证明：＋＋≥.答案　(1)　(2)略解析　(1)因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以abc的最大值为.(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)·(＋＋)＝[()2＋()2＋()2]×[()2＋()2＋()2]≥(×＋×＋×)2＝.所以＋＋≥.9．(2019·武汉调研)(1)求不等式

8、x－5

9、－

10、2x＋3

11、≥

12、1的解集；(2)若正实数a，b满足a＋b＝，求证：＋≤1.答案　(1){x

13、－7≤x≤}　(2)略解析　(1)当x≤－时，－x＋5＋2x＋3≥1，解得x≥－7，∴－7≤x≤－；当－

14、－7≤x≤}．(2)要证＋≤1，只需证a＋b＋2≤1，即证2≤，即证≤.而a＋b＝≥2，∴≤成立，∴原不等式成立．10．已知函数f(x)＝m－

15、x－2

16、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋

17、＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.答案　(1)1　(2)略解析　(1)因为f(x＋2)＝m－

18、x

19、，f(x＋2)≥0等价于

20、x

21、≤m，由

22、x

23、≤m有解，得m≥0，且其解集为{x

24、－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式，得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9.11．(2019·广州综合测试)已知函数f(x)＝

25、x＋a－1

26、＋

27、x－2a

28、.(1)若f(1)