2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习理

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1、2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习理一、填空题1.已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝________.解析　∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.用降幂公式化简得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.答案　－2.(xx·泰州调研)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.解析　化简23

2、cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，解得cosA＝，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b＝5.答案　53.(xx·全国Ⅲ卷改编)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝________.解析　设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝＝－3，所以cosA＝－.答案　－4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积

3、是________.解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.答案　5.(xx·江苏卷)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________.解析　∵α为锐角且cos＝，∴α＋∈，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.答案　6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，

4、则a的值为________.解析　∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.答案　87.(xx·江苏卷)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，＋＝6cosC，则＋＝________.解析　＋＝6cosC⇒6abcosC＝a2＋b2，6ab·＝a2＋b2，a2＋b2＝.＋＝·＝·＝·，由正弦定理得：上式＝

5、·＝4.答案　48.(xx·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________.解析　∵sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，cosC＝＝＝≥＝，当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立.∴cosC的最小值为.答案　二、解答题9.(xx·北京卷)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值.解　(1)由a2＋c2＝b2＋ac得a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝＝.又0＜B＜π，

6、所以B＝.(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以C＝－A，0＜A＜.所以cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA＋coscosA＋sinsinA＝cosA－cosA＋sinA＝sinA＋cosA＝sin，∵0＜A＜，∴＜A＋＜π，故当A＋＝，即A＝时，cosA＋cosC取得最大值为1.10.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值.解　(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1

7、，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)，因为0＜A＜π，所以A＝.(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.11.(xx·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B

8、沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行