浙江2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第5讲导数与函数零点不等式问题学案

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1、第5讲　导数与函数零点、不等式问题高考定位　在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题．真题感悟(2018·浙江卷)已知函数f(x)＝－lnx.(1)若f(x)在x＝x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)＋f(x2)>8－8ln2；(2)若a≤3－4ln2，证明：对于任意k>0，直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有唯一公共点．证明　(1)函数f(x)的导函数f′(x)＝－，由f′(x1)＝f′(x2)得－＝－

2、，因为x1≠x2，所以＋＝.由基本不等式得＝＋≥2，因为x1≠x2，所以x1x2>256.由题意得f(x1)＋f(x2)＝－lnx1＋－lnx2＝－ln(x1x2)．设g(x)＝－lnx，则g′(x)＝(－4)，所以x>0时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表：x(0，16)16(16，＋∞)g′(x)－0＋g(x)2－4ln2所以g(x)在[256，＋∞)上单调递增，故g(x1x2)>g(256)＝8－8ln2，即f(x1)＋f(x2)>8－8ln2.(2)令m＝e－(

3、a

4、＋k)，n＝＋1，则f(m)－km－a>

5、a

6、＋k－k

7、－a≥0，15f(n)－kn－a0，直线

8、y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有唯一公共点．考点整合1．利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解．2．三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可．存在两个极值点x1，x2且x1

9、值)一个f(x1)＜0或f(x2)>0两个f(x1)＝0或者f(x2)＝0三个f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值)一个f(x1)>0或f(x2)＜0两个f(x1)＝0或者f(x2)＝0三个f(x1)＜0且f(x2)＞03.利用导数解决不等式问题(1)利用导数证明不等式．15若证明f(x)

10、题．①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立I是f(x)>g(x)的解集的子集[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)．②x∈I，使f(x)>g(x)成立I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集[f(x)－g(x)]max>0(x∈I)．③对x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)f(x)max≤g(x)min.④对x1∈I，x2∈I使得f(x1)≥g(x2)f(x)min≥g(x)min.温馨提醒　解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键.热点一

11、　利用导数研究函数的零点(方程的根)【例1】(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．(1)解　当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0解得x＝3－2或x＝3＋2.当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)上单调递增，在(3－2，3＋2)上单调递减．(2)证明　由于x2＋x＋1>0，所以

12、f(x)＝0等价于－3a＝0.设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)