2017_18版高中数学第三单元导数及其应用3.1.3导数的几何意义教学案

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1、3．1.3　导数的几何意义学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．知识点　导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1　割线PPn的斜率kn是多少？　　思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？　　梳理　(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直

2、线PT称为曲线在________的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________．7　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　求切线方程命题角度1　曲线在某点处的切线方程例1　已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．　反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．命题角度2　

3、曲线过某点的切线方程例2　求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．　反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)．(2)建立方程f′(x0)＝.(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．　类型二　求切点坐标例3　已知曲线y1＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．引申探究71．若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．反思与感悟

4、　根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)．(2)求导函数f′(x)．(3)求切线的斜率f′(x0)．(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．跟踪训练3　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．　类型三　导数几何意义的应用例4　已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为______________．(请用“>”连接)反思与感悟　导数

5、几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练4　(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)7(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为(　　)A．4B．16C．8D．22．若曲线y＝x2＋ax＋

6、b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－13．曲线y＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于(　　)A．45°B．60°C．135°D．120°4．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.5．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处

7、切线的斜率，即k＝＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．7答案精析问题导学知识点思考1　割线PPn的斜率为kn＝.思考2　kn无限趋近于切线PT的斜

8、率k.梳理