教学-浅谈中学物理极值问题

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1、中学物理教学资料浅谈中学物理极值问题作者：黄晏文章來源：数理化学习点击数：1527更新时间：2007-7-28极值问题是中学物理应用数学工具的典型问题，它的特点是综合强，对过程分析耍求高，有时还比较隐蔽，使人感到难入手。木文将通过具体分析一些典型的例子，培养大家对极值问题的敏感性，并揭示极值问题的常用方法和注意事项。一、对是否存在极值的判断例1如图1,根一端封闭的玻璃管开口向上，长L=90cm,管口处有一段长h二15cm的水银柱，水银面与管口相平，此时被封气体的温度为27°C,外管大气压为75cmHg,求温度至少升高至多少度，水银柱方能从管屮全部溢出？图1分析与解当

2、水银不断流出时，封闭气体积增大，压强变小，设还剩余xcm高PVT最大，此时对应温度为旳。由理想气体状态方程得(75+%)(90-兀)二(75+15)(90-15)Tm_300°显然当x=7.5cm时，PU最大，此时Tm=302.5K。点评木题常见的一种错解是以为水银流出时所需温度最高，得T二300K。形成这种错解的原因是对水银在不断流的过程中，PV乘积存在最大值缺乏敏感性。通常当两个物理量一个在增大，刃一个在减小时，其乘积很可能存在极值。另外从解得的结果T二300K二几，也应该能够意识这种解法的错误，并感觉到屮间过程屮可能存在极值。这种思维方法在例2屮有详细说明。例

3、2如图2电路，AB接在一个稳压电源两端，④为理想电流表，试分析，当滑动变阻器的滑片从a移向b的过程中©的读数将如何变化？分析与解当滑片移至«端时，心被短路,©的读数为务，而滑至b端时④的读数显然也为务,所以在滑片从a移向b过程中肯定存在一个极值，我们不妨研究滑片移至中点时④的读数■并不妨假定R"%片=1U2〃—==<23/?03R务冋见©的读数先变小后变大。点评这种思维方法通常称“极端法”，通常用于处理以中间过程分析、运算比较复朵的问题，一般对于两个“极端”结果相同的问题屮间往往存在极值，至于极大述是极小可借助于对于屮间某一特定位置的分析计算，必要时可利用数学上常用

4、的“赋值法”加于判断。当然，这种方法由于只研究了一些特殊位置，缺乏严密性，尤其对于屮间过程比较复杂（如出现反复儿次变大变小）的问题时要慎重。二、极值问题的常用解法1•数学方法用数学方法求解极值的方法很多，如配方法、辅助角法、判别式法、基本不等式法、求导法等，在物理中最常用的是配方法和基本不等式法。（1）配方法例3在例2中，设在Z?有R.接入支路时@）的读数为厶。求仃最小时心值。分析与解(R-RJR°+Rq显然当R仝时仃最小。点评用配方法，求解极值是最常用的数学方法，其实是写出所需讨论的物理量的函数式（通常为二次函数），然后通过配方法求解。⑵利用基木不等式例4如图3Q

5、Q为等员同种电荷屮为其连线的中垂线上的•点，"与Q的连线与QG连线的夹角为0,试求当0二？时P的场强最大。分析与解如图3,不妨设Qg间距离为2/“则cos0*sin0oQ图3先研究cosOsin0的最大值。因为cos4tfsin20=~(cos20cos20x2sin2^)[ftjcosp+cos'&+2si『Q=尬数，所以当cos20=2sin20时,E,t最大，此时arcsm点评：本题所用的基本不等式为如果a+b+c=常数，则当a=b=cIM，abc最人。基本不等式求解极值比较常见，而且难度相对较人，需耍熟悉各类基本不等式，并禅于进行等效转换。2.矢量图法例5

6、如图4・a所示，一质最为m,带电量为q的小球用一细线忍挂于0点，在一匀强电场中平衡时细线打竖氏方向成8角，则所加电场的最小值为。图4-8图4-6分析与解作如图4-b所示的矢鈕图，当几1/时/电最小，所以最小电场E二翌严。点评本题尽管也可以通过列出函数表达式后用数7方法讨论，但是要緊琐得多，所以酋选矢屋图法。矢量图法的最人优点在于简捷、直观。在处理最小力与渡河问题中最短航程（尤英是w从时）等涉及矢最问题时经常用到。3.隐含条件分析法例6（2005年高考江苏卷）如图5所示，三个质就均为m的弹性小球用两根氏约为L的轻绳连成一条辽线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B•个

7、水平初速度°,方向®绳垂1（。小球相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长。求:I巩ABC999HL+L1图5(1)当小球A、C第-■次相碰时，小球B的速度。(2)当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度。(3)运动过程中小球A的最大动能“从和此时两根绳的夹角0.(4)当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的人小。分析与解⑴设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为必，考虑到对称性及纯的不可伸长特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为%，由动量守恒定律,得加％=3mvR,由此解得vB-(2)当三个小球再次处在同-亡线上时，则由动量守恒定律和机械能守恒定律，得