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《数学学年论文毕业论文酉变换及埃尔米特矩阵》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、酉变换及埃尔米特(Hermite)矩阵摘要：与实二次型类似，我们讨论在复数域上的另一种二次型Hermite型以及与之对应的Hermite阵，Hermite阵的对角化问题。同时，在复数域的线性空间上定义合适的运算Z后引入酉空间，讨论了酉空间的一些性质及酉空间上的酉变换，酉变换在标准正交基下的矩阵-酉矩阵。关键词：Hermite型Hermite阵标准正交基复相合引言：欧氏空间实质上是一个在实数域上定义了内积的一个向量空间。它给岀了向量的度量关系。欧氏空间就是实数域上的内积空间。类似地考虑复数域上的内积空间——酉空间，和酉空间上的线性变换。本文按照欧氏空间讨论的线索，讨论酉空间的一些基木性质，
2、并且与正交矩阵和正交变换的讨论类似，讨论了酉空间中的四变换与Hermite矩阵的性质和它们Z间的关系。一、酉空间的产生背景：先在复数域上的线性空间上定义运算：定义1：设V是复数域C上线性空间，g是VxV到C的函数，若g满足：对任意abeeV,kgC.有：g(d+b,c)=g(d,c)+g@,c),g(a,kb)=kg(a,b).g(a,b+c)=g(a,b)+g(a,c),称为g半双线性型。定义2：设力是复线性空间V上半双线性型，若对任意a.beC有：h(a,b)=h(a,b)则称力为Hermite型，H(a)=h(a,a),称为由h决定的Hermite二次型。现在我们來考虑复数域上的另
3、一种二次型一Hermite型。为了方便起见，我们把斤个变元的Hermite型看成是复数域上的二次齐次函数：f(xl9x2,A，百)二工》元宀•(1)gi=l其中5=5,这里。表示Q的共轨，当变量取实变量正且切都是实数时，/就是实二次型，因此Hermite型也可看成是实二次型的推广，事实上，Hermite型有许多与实二次型相同的性质。Hermite型（1）可写成如卜•的矩阵形式/（%!x2A兀“）=X>1X其中A=（知），显然屮=4,这样的矩阵我们称之为Hermite矩阵；与实二次型类似Hermite型与Hermite矩阵之间有着对应关系，即给定一个〃变元的Hermite型必相伴有一个He
4、rmite矩阵，反之给定一个Hermite矩阵必有一个Hermite型与之对应。定义3：若对任意非零向量aeV,均右/?仏°）〉0•则称Hermite型h（a,b）=xHy是正定的，此时也称Hermite方阵H为正定的，记为H>0,正定Hermite型也称为Hermite内积。定义4：（酉空间）设V是复线性空间。若V上定义着正定Hermite型g,贝iJV称为（对于内积g的）酉空间，g称为内积。例：设V是［0,1］区间上复值连续函数全体，证明如下：=打（必⑴力是Hermite内积。即它构成一酉空间。证明：（1）因为=<
5、f,g>+,=k所以有是V上Hermite内积.即V在该运算下构成由空间。定义5：设是V酉空间向量aeV的长度定义为制=7<皿>(1)非零向量"的夹角定义为：&=cos-1課F(2)若va.b>=0贝lj称d与b正交。(3)关于标准正交基；定理1：从〃维复线性空间V屮的任一组基肉,角,A,0”出发，可以经过一种确定的方法(称为Schmidt正交化)构造出一组标准正交基来。证明：(略)二、与欧氏空间中的正交变换一样，酉变换是在酉空间中不改变向量长度的变
6、换，由于它有这种几何特征，所以它的应用相当广泛。定义6：〃维复线性空间中保持向量长度不变的复仿射变换，称为酉变换。定理2：在V中取定标准正交基后，复仿射变换y=xU是酉变换的充要条件为H阶复方阵〃适合条件"0=1证明：今复仿射变换是酉变换的充要条件为它保持长度不变，即对V中任一向量X,有：xx'===yy'=(xU)(xUY=x(UUr)xr所以有恒等式x(I-UUf)xf=Of故1=U,证毕。定义7：适合条件=/的刃阶复方阵〃称为酉方阵。定理3：设“45为酉空间V的标准正交基，设方阵P是从基到基£[,02,A到基勺心‘人，S的过渡矩阵。B
7、J（epe2,A,£”）二
8、（可，6，人，6）P则当且仅当PfP=I时，—A心为标准正交基。方法1,证明：（O）可勺=｛：：：；,利=｛：：：；,,设P=（p0.）勺=工6几,勺=工£小，r=lr=l可勺=(e；pu+A+A+%pQ=^PuPlj+人=E^7=脣;:r=l故戸'P=I,即p是酉矩阵。方法2,证明：因为（勺,丘2,A,匕）=（刍,^2，A，6）P记p=m，打）,则5=&心4，6比由于y•，勺＞=PlPj（酉空间中的内积）,因此网•=忙；那么有厂耳
