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时间：2019-10-22
《2018版高中数学（人教b版）必修五学案第一章1.1.2余弦定理（二）含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1丄2余弦定理(二)［学习目标］1.熟练掌握余弦定理及其变形形式2会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.戸预习导学/挑战自我，点点落实［知识链接］1.以下问题不能用余弦定理求解的是.⑴已知两边和其中一边的对角，解三角形.(2)已知两角和一边，求其他角和边.(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.答案(2)2.利用余眩定理判断三角形的形状，正确的是•⑴在△MC中，若a2=b2+c则△MBC为直角三角形.(2)在中，若a22、，若a2>h2+c则为钝角三角形.答案(1)(3)［预习导引］1.正弦定理及其变形(盅=盘益包住皿磁外接圆半径).(2)a=27?sin/,b=2RsinB,c=27?sinC.2.余弦定理及其推论⑴/=尸+/—2比cosA,b2—/+/—2cacosB,c2—/+—2dbcosC./?2+c2—a2c2+ci2—b2a'+ly—c1(2)cos/=,cosB=,cosC—.⑶在△ABC中，c2=a2+b2^C为直角;c2>a2+b2^C为钝角;c23、i(2)cos(a—0)=cosacos〃+sinasin〃.(3)cos2a=cos%—sin%=2COS。一1=1—2sin%.F课堂讲义J重点难点，个个击破要点一正、余弦定理的综合应用例1如图所示，在四边形ABCD中，/D丄CD,AD=OfAB=4fZ3D4=60。，乙BCD=135°,求EC的长.解在中，/D=10,力3=14,由余弦定理，得AB1=AD1+Blf-2AD'BDcqsZBDA,A142=102+x2-2X10’cos60°,即x2-10x-96=0,解得兀i=16,兀2=一6(舍去),:,BD=6.'：ADLCD.Z4、BD4=60°,:.ZCDB=30°.在△BCD中，由正弦定理:BC_BDsinZCDB^sinZBCDf.心16sin30。•兀一sin135°规律方法余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程（组）求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.跟踪演练1在中，内角力，B,C的对边长分别为°,方，c,已知『一g=2b,且sin/cosC=3cosJsinC,求b.解方法一在厶ABC中，Tsin/cosC=3cos5、/sinC,则由正弦定理及余弦定理有：/+/方Z+F—q?a'~lab-=%~2bc~）G化简并整理得：2(a2~c2)=b2.又由已知a~c2=2b9：.^h=b2,解得b=4或b=0(舍).方法二由余弦定理得：a2~c2=b2~2bccosA.又a2~c2=2btbHO.所以b=2ccosA+2.①又sinAcosC=3cosAsinC9sin/cosC+cos/sinC=4cos/sinC,sin(/l+C)=4cos^4sinC9即sinB=4cosAsinC,由正弦定理得sinB=~sinC,故Z?=4ccos/・②c由①②解得b=4.6、要点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在ZUBC中，有：(1)a=bcosC+ccosB;(2)b=ccosA+«cosC；(3)c=qcosB+bcos/；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明方法一(l)^A^C外接圆半径为凡由正弦定理得b=2RsinB,c=2RsinC,bcosC+ccosB=27?sinBcosC+27?sinCeosB=2/?(sinBcosC+cosBsinC)=2Rsin(B+C)=2RsinA=a.即a=bcosC+ccosB同理可证(2)Z?=ccosA+qcosC；(3)c=dcosB+bcos7、4方法二(1)白余弦定理得,cosC=ra1+c2—b1_a'+b1—^cosB=2口(，cosC="2cih,6T2+/?2—C2,tZ2+c2_/?2・・・bcose+ccosB=b-2ah+c-2aca2+b2—c2a2+c2—b22anIn=Q.2a2a2a.a=bcosC+ccosB.同理可证(2)b=ccosA+acosC；(3)c=acos3+bcos4规律方法(1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左=右；右=左或左=中U右三种.(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角8、的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.跟踪演练2在厶ABC^9a、b.c分别是角B
2、，若a2>h2+c则为钝角三角形.答案(1)(3)［预习导引］1.正弦定理及其变形(盅=盘益包住皿磁外接圆半径).(2)a=27?sin/,b=2RsinB,c=27?sinC.2.余弦定理及其推论⑴/=尸+/—2比cosA,b2—/+/—2cacosB,c2—/+—2dbcosC./?2+c2—a2c2+ci2—b2a'+ly—c1(2)cos/=,cosB=,cosC—.⑶在△ABC中，c2=a2+b2^C为直角;c2>a2+b2^C为钝角;c23、i(2)cos(a—0)=cosacos〃+sinasin〃.(3)cos2a=cos%—sin%=2COS。一1=1—2sin%.F课堂讲义J重点难点，个个击破要点一正、余弦定理的综合应用例1如图所示，在四边形ABCD中，/D丄CD,AD=OfAB=4fZ3D4=60。，乙BCD=135°,求EC的长.解在中，/D=10,力3=14,由余弦定理，得AB1=AD1+Blf-2AD'BDcqsZBDA,A142=102+x2-2X10’cos60°,即x2-10x-96=0,解得兀i=16,兀2=一6(舍去),:,BD=6.'：ADLCD.Z4、BD4=60°,:.ZCDB=30°.在△BCD中，由正弦定理:BC_BDsinZCDB^sinZBCDf.心16sin30。•兀一sin135°规律方法余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程（组）求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.跟踪演练1在中，内角力，B,C的对边长分别为°,方，c,已知『一g=2b,且sin/cosC=3cosJsinC,求b.解方法一在厶ABC中，Tsin/cosC=3cos5、/sinC,则由正弦定理及余弦定理有：/+/方Z+F—q?a'~lab-=%~2bc~）G化简并整理得：2(a2~c2)=b2.又由已知a~c2=2b9：.^h=b2,解得b=4或b=0(舍).方法二由余弦定理得：a2~c2=b2~2bccosA.又a2~c2=2btbHO.所以b=2ccosA+2.①又sinAcosC=3cosAsinC9sin/cosC+cos/sinC=4cos/sinC,sin(/l+C)=4cos^4sinC9即sinB=4cosAsinC,由正弦定理得sinB=~sinC,故Z?=4ccos/・②c由①②解得b=4.6、要点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在ZUBC中，有：(1)a=bcosC+ccosB;(2)b=ccosA+«cosC；(3)c=qcosB+bcos/；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明方法一(l)^A^C外接圆半径为凡由正弦定理得b=2RsinB,c=2RsinC,bcosC+ccosB=27?sinBcosC+27?sinCeosB=2/?(sinBcosC+cosBsinC)=2Rsin(B+C)=2RsinA=a.即a=bcosC+ccosB同理可证(2)Z?=ccosA+qcosC；(3)c=dcosB+bcos7、4方法二(1)白余弦定理得,cosC=ra1+c2—b1_a'+b1—^cosB=2口(，cosC="2cih,6T2+/?2—C2,tZ2+c2_/?2・・・bcose+ccosB=b-2ah+c-2aca2+b2—c2a2+c2—b22anIn=Q.2a2a2a.a=bcosC+ccosB.同理可证(2)b=ccosA+acosC；(3)c=acos3+bcos4规律方法(1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左=右；右=左或左=中U右三种.(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角8、的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.跟踪演练2在厶ABC^9a、b.c分别是角B
3、i(2)cos(a—0)=cosacos〃+sinasin〃.(3)cos2a=cos%—sin%=2COS。一1=1—2sin%.F课堂讲义J重点难点，个个击破要点一正、余弦定理的综合应用例1如图所示，在四边形ABCD中，/D丄CD,AD=OfAB=4fZ3D4=60。，乙BCD=135°,求EC的长.解在中，/D=10,力3=14,由余弦定理，得AB1=AD1+Blf-2AD'BDcqsZBDA,A142=102+x2-2X10’cos60°,即x2-10x-96=0,解得兀i=16,兀2=一6(舍去),:,BD=6.'：ADLCD.Z
4、BD4=60°,:.ZCDB=30°.在△BCD中，由正弦定理:BC_BDsinZCDB^sinZBCDf.心16sin30。•兀一sin135°规律方法余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程（组）求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.跟踪演练1在中，内角力，B,C的对边长分别为°,方，c,已知『一g=2b,且sin/cosC=3cosJsinC,求b.解方法一在厶ABC中，Tsin/cosC=3cos
5、/sinC,则由正弦定理及余弦定理有：/+/方Z+F—q?a'~lab-=%~2bc~）G化简并整理得：2(a2~c2)=b2.又由已知a~c2=2b9：.^h=b2,解得b=4或b=0(舍).方法二由余弦定理得：a2~c2=b2~2bccosA.又a2~c2=2btbHO.所以b=2ccosA+2.①又sinAcosC=3cosAsinC9sin/cosC+cos/sinC=4cos/sinC,sin(/l+C)=4cos^4sinC9即sinB=4cosAsinC,由正弦定理得sinB=~sinC,故Z?=4ccos/・②c由①②解得b=4.
6、要点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在ZUBC中，有：(1)a=bcosC+ccosB;(2)b=ccosA+«cosC；(3)c=qcosB+bcos/；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明方法一(l)^A^C外接圆半径为凡由正弦定理得b=2RsinB,c=2RsinC,bcosC+ccosB=27?sinBcosC+27?sinCeosB=2/?(sinBcosC+cosBsinC)=2Rsin(B+C)=2RsinA=a.即a=bcosC+ccosB同理可证(2)Z?=ccosA+qcosC；(3)c=dcosB+bcos
7、4方法二(1)白余弦定理得,cosC=ra1+c2—b1_a'+b1—^cosB=2口(，cosC="2cih,6T2+/?2—C2,tZ2+c2_/?2・・・bcose+ccosB=b-2ah+c-2aca2+b2—c2a2+c2—b22anIn=Q.2a2a2a.a=bcosC+ccosB.同理可证(2)b=ccosA+acosC；(3)c=acos3+bcos4规律方法(1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左=右；右=左或左=中U右三种.(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角
8、的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.跟踪演练2在厶ABC^9a、b.c分别是角B
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