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《函数的奇偶性和周期性对称性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、函数的奇偶性和周期性一、奇偶性定义奇函数：若函数/⑴对于定义域内任意的自变量都冇则称该函数为奇函数；偶函数：若函数/(力对于定义域内任意的口变量都有/(-x)=/U),则称该函数为偶函数二、具备奇偶性函数的性质奇函数的性质①奇函数定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称®y=/(x)在兀=0有意义，则/(0)=0③奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同偶函数的性质①偶函数定义域关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称②偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反三、判断函数奇偶性的方法(1)定义法：首先判断其定义域是否关于原点屮心对称.若不对称，则
2、为非奇非偶函数；若对称，则再判断/(X)=-/(%)或/(兀)=/(-%)是否为定义域上的恒等式；(2)图象法;(3)性质法：设/(兀)，g(x)的定义域分别是卩，2,那么在它们的公共定义域D=D}CD2^f(x)g(x)f(x)±g(x)f[gM]奇奇奇偶奇偶偶偶偶偶奇偶无法判断奇偶偶奇无法判断奇偶四、周期性1、周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都冇f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一•个最小的
3、正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。五、周期性的常用结论1＞若函数/⑴满足条件/(x+a)=—!—,/(x)2、若函数/(兀)满足条件/(x+a)=-/(%),则函数/⑴必为周期函数，周期T=2a则函数/(无)必为周期函数，周期T=2a4、若函数f(x)满足条件/(x+6/)=/(x-«),则函数/(x)必为周期函数，周期T=2a5、若奇函数/(兀)的图像关于点(q,0)对称，则函数/⑴必为周期函数，周期T=2a6、若奇函数/(x)的图像关于直线兀对称，则函数/(兀)必为周期函数，周期T=4a7、若偶苗数于⑴的图像关于点
4、(。,0)对称，则苗数/(兀)必为周期函数，周期T=4a8、若偶函数/(兀)的图像关于直线兀=a对称，则函数/(兀)必为周期函数，周期T=2a9、若函数/*(兀)的图像有两个对称中心(&,0),(伉0)，则函数/*(兀)必为周期函数,周期T=2h-a10、若函数.f(x)的图像有两个对称轴x=a.x=bf贝ij函数.f⑴必为周期函数，周期T=2b-a11、若函数/(兀)的图像冇一个对称轴兀=。，和一个对称中心(b,0),则函数/⑴必为周期函数,周期T=4b-a六、对称性的常用结论1、『=/(兀)与)，=一/(兀)关于X轴对称。2、y=fM与
5、y=/(F关于y轴对称。3、y=fM与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。4、y=/(x)与y-la-/(x)关于直线y-a对称。5、y=f(兀)与y=2b-f(2a一x)关于点(a,b)对称。6、y-f(a-x)与y=(x-b)关于直线x=°；厶对称。7、y=/(兀)与y=厂'(x)关于直线y=兀对称题型1两数的奇偶性判断1、判断下列函数的奇偶性:2)3)/(x)=lg(/l+x2一x)；4)U<0)U>0)5)f(x)=y/—x~+X~—12、抽象函数的奇偶性1)设函数7W的定义域为R,对于任意的实数X,y,都有Jlx+y)=f(x)+f
6、(y),当兀>0时，心)<0,求证：(iyu)为奇函数；(2)/U)在(一°°,+°°)上是减函数.2)定义在(一1,1)上的函数/(兀)满足：①,对任意兀，ye(-l,1)都有/(x)+/(y)=/(^^),1+xy②当XG(-1,0)时,有/(x)>0,(1)试判断/(兀)的奇偶性；(2)判断/(x)的单调性；题型2函数的奇偶性应川1、已知/•⑴是/?上的奇函数,且当X6(0,+oo)时,/(x)=x(l+奴)，则门兀)的解析式为2、己知函数f(x)=ax2+Z?x+c,xw[-2。一3,1]是偶函数，贝ija+b=3、已知/(兀)=—+加为奇
7、函数，则/(-I)的值为2A+14、已知/(X)二处7+b，+c，+dA；+5,其中Q,b,c,d为常数，若/(-7)=-7,则/(7)=5、若于(工)为偶函数，g(x)为奇函数，且+=,则/(%)=,x-1a•2"+ci—26函数f(x)=是定义在R上的奇函数，则。=2V+17、定义在(-1,1)±的奇函数/(x)为减函数，且/(l-d)+/(l—/)<(),贝巾的取值范围是8>已知函数f(x)=log<;(Vx2+1+x)+———+—(d〉0,dHl),且/(log,fe)-/(log4Z?)=8,o'-127(b>O,"Hl),那么/(log
8、,Z7)/(log4/7)=49设/(x)是奇函数，且在(()，+a)内是增函数，又/(一3)=(),则xyu)
