3、要通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到an=k+Vf的变化，从屮找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构.题型一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【例1】已知£3=牙刁.对于胆N+,试比较f（萌）与阳的大小并说明理由.分析：先通过刀取比较小的值进行归纳猜想，确定证明方向，再用数学归纳法证明.厂护一I9解：据题总f3=#+f=/”+]—1—xn--，（厂、2_//-12・••如）=1-幵p又而齐？・・・要比较卅边）与异的大小，只需比较2〃与
4、/的大小即可，当/7=1时,2,=2>12=1,当刀=2吋，22=4=22,当/?=3时，23=8<32=9,当z?=4时,24=16=42,当77=5时,25=32>52=25,当77=6时，26=64>62=36・故猜测当&5gN+)时,2”>/,下面用数学归纳法加以证明.⑴当刀=5吋，2n>rf显然成立.(2)假设n=k(k25,且圧NJ时，不等式2”>/成立，即(心5),则当n=k+时，2a+1=2・2a>2・护=#+#+2斤+1一2&一1=(斤+1)'+(k—1)—2>(&+1)“因为(k—1):>2)・由⑴⑵可知,
5、对_切必5,用N+,2n>n成立.综上所述，当〃=1或“25时，/(^2)>/『+].当77=2或/7=4时，f(迈)=令肓，2_J当77=3时，代农)<奔亍反思利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向.再用数学归纳法证HJ]结论成立.题型二数学归纳法在解决冇关数列问题中的应用【例2】已知数列｛/｝满足：戲=
6、,且禺=2,%'—1(心2,胆N+).(1)求数列｛/｝的通项公式；(2)求证：对一切正整数刀，不等式…禺<2/?!恒成立.分析：(1)由题设条件知，可用构造新数列的方法求得日
7、“；(2)可以等价变形，视为证明新的不等式.(1)解：将条件变为：1一仝=丫1一口)，an3如1丿因此数列｛1--｝为一个等比数列，其首项为1一丄=£公比为从而1一卫=g,因此Un33dnozri〃X3"/、、厂、侍$"=(刀21).①(2)证明：由①得，n为证句型…禺<2刀！,只要证“GN+时，X—X>+•②显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对/?WN+,有(1—*)x(1—*)><•・•x(l—£j$l下面用数学归纳法证明③式：①当/?=1时，显然③式成立，②假设n=kgN+,倡1)时，③式成立,3X3a+,即当n=k
8、+时，③式也成立.故对一切用N+,③式都成立.利用③,得(1-扣(1-扑(1-书故原不等式成立.反思本题提供了用数学归纳法证明相关问题的-种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“耍证明……”,“只需证明……”,转化为证明其他某一个条件，进而说明耍证明的不等式是成立的.题型三用数学归纳法证明不等式【例3】设£=(1+才)"，Q(—+nx+—^—^—^-x,用N+,涎(一1,+°°),试比较E与@的大小，并加以证明.分析：这类问题，一•般都是先取
9、匕，@的前儿项进行观察，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性.解：P=+x=Q,P2=+2x+x=Q>.A=1+3/+3#+,,Q=l+3x+3,,I—Q.=x,山此推测，E与Q的人小要由/的符号来决定.⑴当/7=i,2时,plt=a.(2)当心
