追与与相遇问题

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......追及与相遇问题刘玉平课时安排：3课时三维目标：1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度－位移公式；2、能灵活选用合适的公式解决实际问题；3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；4、通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。教学方法：启发式、讨论式。教学过程两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。一、追及问题1、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：⑴初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上。a、追上前，当两者速度相等时有最大距离；b、当两者位移相等时，即后者追上前者。⑵匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。专业word可编辑. ......判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最小距离；b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件；c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个值都有意义。即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。⑶匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟⑵类似。匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟⑴类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。2、分析追及问题的注意点：⑴要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意图象的应用。二、相遇专业word可编辑. ......⑴同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。⑵相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。【典型例题】【例1】在十字路口，汽车以0.5m/s2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1）汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？解：①汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为tv汽＝at＝v自t＝10s最远距离x＝x自－x汽＝v自t－at2＝25m②设汽车追上自行车所用时间为t／此时x自＝x汽v自t／＝at／2t／＝20s此时距停车线距离x＝v自t／＝100m　此时汽车速度v汽＝at／＝10m/s【例2】客车以30m/s的速度行驶,突然发现前方72m处有一自行车正以6m/s的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以3m/s2的加速度匀减速前进,问：（1）客车是否会撞上自行车?若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？（2）若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？（3）若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？专业word可编辑. ......【例3】在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。ABSV1V2【例4】如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B.解:物体B的运动时间为秒在此时间内B前进了米这时A前进了米可见在此时间内A没有追上B,必须在B停止后,A才能追上B.故A追上B的时间为:秒【例5】一专业word可编辑. ......辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：V0t+S0……（1）a=（m/s2）……（2）摩托车追上汽车时的速度：V=at=0.24´240=58(m/s)（3）因为摩托车的最大速度为30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。应先匀加速到最大速度再匀速追赶。……（4）Vm≥at1……（5）由（4）（5）得：t1=40/3（秒）a=2.25(m/s)【例6】汽车以1m/s2的加速度起动，同时车后60m远处有一人以一定速度V0匀速追赶要车停下．已知人在离车小于20m，且持续时间为2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V0至少要多大？如果以V0=10m/s的速度追车，人车距离最小值应为多少？解：方法一、设经过时间T人和车相距20m，则根据位移关系可得60m＋1/2aT²－V0T＝20m将a＝1m/s2代入上式并整理得T2－2V0T＋80＝0设为该方程的两个根，由韦达定理有T1＋T2＝2V0①T1·T2＝80②又因为人车相距20m以内的时间至少持续2s，所以有T1－T2＝2③解①②③可得的最小速度为9m/s。专业word可编辑. ......当V0＝10m/s时经过一段时间t后人车之间距离为d＝1/2aT2＋60－V0T＝1/2T2－10T＋60＝1/2(T－10)2＋10∴当T＝10s时,d取得最小，即人与车的最小距离为10m。点评本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。方法二、已知人在离车小于20m，且保持时间为2s喊停车方能把停车信息转达到司机，那么题意就是当距离为20m后，再经过2s，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车40m.所以有，vt-1/2at2=40①同时v(t+2）-1/2a(t+2)2=40②②-①得t=v/a+1③将③代入①得最小速度v=9m/s.如果10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。所以最小距离=60-10*10-1/2*102=10m 方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.才能把信息传给司机.经过时间t后人与车相距为20m即1/2at2+60-vot=20此时车速为at，接下来2s内保持20m距离即2＊vo=at＊2+1/2a＊22.解得t=8s.vo=9m/s方法四、根据题意，专业word可编辑. ......要在汽车的速度达到V之前，人与车的距离小于20m，因为如果在汽车速度达到V的时候人车的距离还大于20m，那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1（因为a=1）时，人距车必须小于20米，有60+1/2*(v+1)^2-v*(v+1)<=20,解出v就o了方法五、根据判别式等于零来求解。教学反思：作业：1．一辆值勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以v=8m／s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。经2.5s，警车发动起来，以加速度a=2m／s2做匀加速运动，试问：（1）警车要多长时间才能追上违章的货车?（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大?解析：方法1、利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速度相等时相距最远。v警=at，v货=v0，由v警=v货得at1=v0即相距最远时警车所用的时间为t1===4s此时货车和警车前进的距离分别为x货=v0（t0+t1）=8m／s×（2.5s+4s）=52ms警==×2m／s2×（4s）2=16m两车的最大距离为Δxmax=x货－x警=52m－16m=36m两车的位移分别为x警=，x货=v0（t+t0）追上时两车位移相等x警=x货，即=v0（t+t0）解得追上时所用时间t2=10s。方法2、利用二次函数的知识求解。专业word可编辑. ......货车和警车的位移分别为x警=，x货=v0（t+t0），两车的位移之差为Δx=x货－x警=v0（t+t0）－=－t2+8t+20=－（t－4）2+36当t=4s时，Δx有最大值36m，即追上之前相距最大为36m。当t=l0s时，Δx=0，即相遇。2．客车以20m/s的速度行驶,突然发现同轨道前方120处有一货车正以5m/s的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以0.9m/s2的加速度匀减速前进,问：（1）客车是否会撞上货车?若会撞上货车，将会在匀减速前进多久时撞上？（2）若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时距离货车至少多远？（3）若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时的加速度至少多大？3．甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以v1=10m/s的速度做匀速运动，经过车站A时关闭油门以a1=4m/s2的加速度匀减速前进。2s后乙车与甲车同方向以a2=1m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？解析：解法一（公式法）：甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为m/sm/s=2m/s，此时离甲车停止运动的时间s=0.5s。根据题设条件，乙车在0.5s内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。甲车停止时离车站A的距离m=12.5m，专业word可编辑. ......设乙走完这段路程所需的时间为t，由得s=5s。故乙车出发后经过5s追上甲车。联想求解本题最易犯的错误是：根据追上的条件，有，MMMM图2－37sxAxBvAvB代入数据可得t=2.6s。错误的原因在于对汽车等运输工具做减速运动的实际规律理解不深。本题中甲车在被乙车追上前已停止运动。上述计算的实质是认为甲车速度减为0后又反向加速运动，所以计算出与乙车相遇的时间就短了。4．在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动；而B车同时做初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足的条件。解析：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等。设A、B两从相距s到A车追上B车时，A车的位移为xA，末速度为vA，所用时间为t；B车的位移为xB，末速度为vB，运动过程如图2－37所示。现用四种方法求解。解法一（利用位移公式和速度公式求解）：对A车有，。对B车有，。两车有，追上时，两车刚好不相撞的条件是，由以上各式联立解得。专业word可编辑. ......故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。解法二（利用速度公式和速度—位移关系式求解）：两车刚好不相撞的临界条件是：即将追上时两车速度相等。设此速度为v，A车追上B车前，A车运动的时间为，B车运动的时间为,因为，所以，即①A车的位移，B车的位移，因为，所以。即②①②两式联立解得。故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。解法三（利用判别式解）：由解法一可知，即，整理得 。这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式＜0时，t无实数解，即两车不相撞。故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。解法四（用速度图象解）：如图2－38所示，先作A、B两车的速度图象。设经过时间t两车刚好不相撞，则图2－38Ottvvv0AB对A车有，对B车有，专业word可编辑. ......由以上两式联立解得。经时间t两车的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知。故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。联想分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极值条件或临界条件相联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。5．甲、乙两车相距为s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。解析解法一（物理方法）：由于两车同时同向运动，故有 v甲=v0+a2t，v乙=a1t。    （1）当a1v乙.。由于原来甲车在后，乙车在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然追上乙车。由于甲车追上乙车时v甲>v乙，所以甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次。（2）当a1=a2时，a1t=a2t，v甲>v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次。    （3）当a1>a2时，a1t>a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化.。专业word可编辑. ......刚开始a1t和a2t相差不大且甲有初速度v0，所以v甲>v乙.。随着时间的推移，a1t和a2t相差越来越大，当a1t-a2t=v0时，v甲=v乙，接下来a1t-a2t>v0，则有v甲a2时，若，t无解，即不相遇；若，t只有一个解，即相遇一次；若，t有两个正解，即相遇两次。专业word可编辑. ......联想以上两种解法，正好体现了解答物理问题的两种典型思路。方法一从比较两车的速度关系和位移关系出发，经过仔细而严密的逻辑推理，得出了不同条件下的不同结果。这种解法注重物理过程的分析，物理情景比较清楚。方法二先假设两车相遇，由两车位移之间的关系列出求解相遇时间的方程，然后再对方程解的个数展开讨论。这种解法的特点是将物理问题转化为数学问题，充分运用数学规律和技巧使问题得以解决，论述简洁明了。6．羚羊从静止开始奔跑，经过s1=50m的距离能加速到最大速度v1=25m/s，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过s2=60m的距离能加速到最大速度v2=30m/s，以后只能维持这个速度4.0s。设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s开始奔跑，假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，问：(1)猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应在什么范围？(2)猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？解析：(1)猎豹在达最大速度且尚未减速前追到羚羊，即猎豹的运动只能是先匀加速运动后匀速运动。设猎豹在维持最大速度的时间t内追到羚羊，由题意知t≤4.0s。现在我们首先探索的问题是：当猎豹追上羚羊时，羚羊的运动情况如何？为此，我们可先分别求出羚羊和猎豹做加速运动的加速度和时间。羚羊做加速运动的加速度为 m/s2=6.25m/s2，羚羊做加速运动的时间为 s=4.0s；而猎豹做加速运动的加速度为m/s2=7.5m/s2，专业word可编辑. ......猎豹做加速运动的时间为s=4.0s。①若猎豹刚达到最大速度时追上羚羊，则羚羊只加速了t’=3s，有mm=32m；②若猎豹刚要减速时追上羚羊，则有mmm=55m。由此可知，猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应为32m≤x≤55m。(2)羚羊刚要开始奔跑时，猎豹已前进的距离m=3.75m。由此可知。猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应为 3.75m≤x≤32m。联想：本题的求解告诉我们，研究物体的运动，首先要分析清楚物体的运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多个物体的运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，然后找出它们之间的联系。7．甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m／s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。解法一：两车同时同向出发，开始一段由于甲车速度大于乙车速度，将使两车距离拉开，由于甲车作匀减速运动，乙车作加速运动，总有某一时刻两车速度相同，此时两车相距最远，随着甲车进一步减速，乙车进一步加速，动车速度大于甲车速度，使两车距离变小，当乙车追上甲车时．两车运动位移相同。专业word可编辑. ......当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t1，两车速度为v对甲车：　　v=v1+a1t1对乙车：　　v=v2+a2t1两式联立得　t1=(v1-v2)/(a1-a2)=4s此时两车相距△s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2)-(v2t1+a2t12/2)=24m当乙车追上甲车时，两车位移均为s，运动时间为t．则：v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2得　t=8s　或t=0(出发时刻，舍去。)解法二：甲车位移　　　s1=v1t+a1t2/2乙车位移　　　s2=v2t2+a2t2/2某一时刻两车相距为△s△s=s1-s2=(v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2)=12t-3t2/2当t=-b/2a时，即t=4s时，两车相距最远　△s=12×4-3×42/2=24m当两车相遇时，△s=0，即12t-3t2/2=0∴　t=8s　或t=0(舍去)8．火车甲以速度V1向前行驶，发现前方S米处另一辆火车乙正以速度V2（V2＜V1）做匀减速运动，加速度的大小为，火车甲为了避免与火车乙相撞，也开始做减速运动，则加速度的大小至少为多少？V/m.s-1Ot1At1/t2tVV2V1t/s图五解：因为二者均作匀减速运动，所以它们的V-t图都是直线，根据题意可作图五，图中阴影部分的面积即是甲、乙两车停下时它们的位移差S1。专业word可编辑. ......当S＜S1S＜时它们相遇有共同的速度。如图中的点。此时的解是（由图可知）当S≥S2，既S≥时，此时的解由图可知由此可见，利用图象不但物理过程清楚。还可以避免漏解。专业word可编辑.