0102高等数学讲义(汪诚义)第一章

《0102高等数学讲义(汪诚义)第一章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、新东方在线高等数学讲义主讲：汪诚义目录第一章函数、极限、连续1第二章一元函数微分学24第三章一元函数积分学49第四章常微分方程70第五章向量代数与空间解析几何82第六章多元函数微分学92第七章多元函数积分学107第八章无穷级数（数一和数三）129第一章函数、极限、连续§1.1函数（甲）内容要点一、函数的概念1.函数的定义2.分段函数3.反函数4.隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1.用极限表示的函数（1）y=lim/；,（%）舁一>8（2）y=lim/（/,x）2.用变上、下限积分表示的函数（

2、1）T其中/⑴连续，则字=/（X）Jadxf0（•¥）（2）y=~其屮（p£x）,（po可导，/⑴连续，J5（兀）则学=/W兀）］妨（兀）-fW（兀）M（兀）dx五、函数的儿种性质1.有界性：设函数,y=/（x）在X内有定义，若存在正数M,使xgX都有

3、/（x）

4、

5、意X）gX,x2eX,%!/（£）］则称/（兀）在X上是单调增加的［单调减少的若对任意西wX,x2gX,Xj^2）］,则称于（兀）在X上是单调不减［单调不增］（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）4.周期性：设/（Q在X上有定义，如果存在常数THO,使得任意xgX,x+TgX,都有/（X+T）=f（x），则称/（兀）是周期函数，称T为/（兀）的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。（乙）典型

6、例题一、定义域与值域例1设/（%）的定义域为[一⑦a]（q>0）求f（x2一1）的定义域解：要求一gSx2—贝ij1-c/1时，T1-<7<0,.•・%2<1+6?,则XSJ1+Q当0vav1时，1—g>0,-a5x5Jl+o也即a2解：x<-2,y>3+8=11,x=*3_y,-22,y=l-(x-2)2<1,兀=2+Jl_y,所以)，二

7、/(x)的值域为(—co,1)U[3,7]U(11,+oo)2+Jl_y,yvl反函数兀=<5-y,3

8、偶函数(B)若/(兀)为偶函数，则F(x)为奇函数(C)若/(兀)为周期函数，则F(x)为周期函数(D)若/(兀)为单调函数，则尸(兀)为单调函数例2求/=f1x[x5+(£'—幺7)ln(x+Vx2+1)]dxJ—1解j(x)=e'-ex是奇函数，*.*f}(―兀)=e—ex=—fx(x)/2(x)二ln(x+J/+i)是奇函数，tf2(-x)=ln(-x+7x2+1)=In'AX+JX?4-1=In1-ln(x+J/+i)-一了2(x)因此-厂)ln(x+J兀$+1)是奇函数于是/=fx^dx--Q=2(xbdx=—J-iJo7例3设/(兀),

9、g(兀)是恒大于零的可导函数，且fXx)g(x)-f(x)gx)<0,则当af(a)g(x)(D)/(x)g(Q>/(Q)g(d)(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)思考题：两个周期函数之和是否为周期函数四、函数方程rf(X)例1.设/⑴在[0,+oo)±可导，/(0)=0,反函数为g(x),且Jog(t)dt=x2ex,求/(兀)。解：两边对x求导得g[f(x)]fx)=2xex+x2ex，于是xfx)=x(2+x)exf故=(兀+20,/(x)

10、=(x+l)ex+C,由/(0)=0,得C=-l,则/(朗=(无+10—1。例2设/'(x)满