01高等数学讲义长期班(汪诚义)第一章1-24

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1、第一章函数、极限、连续§1.1函数(甲)内容要点一、函数的概念1.函数的定义2.分段函数3.反函数4.隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1.用极限表示的函数(1),例(2),例2.用变上、下限积分表示的函数(1)其中连续,则(2)其中可导,连续,则五、函数的几种性质1.有界性:设函数在X内有定义,若存在正数M,使都有,则称在X上是有界的。2.奇偶性:设区间X关于原点对称,若对,都有,则称在X上是奇函数。若对,都有,则称在X上是偶函数,奇函数的图象关于原点对称;偶函数图像关于轴对称。重要公式3.单调性:设在X上有定义,若对

2、任意,都有23则称在X上是单调增加的[单调减少的];若对任意,都有,则称在X上是单调不减[单调不增](注意:有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。)若在内,1.周期性:设在X上有定义,如果存在常数,使得任意,,都有,则称是周期函数,称T为的周期。由此可见,周期函数有无穷多个周期,一般我们把其中最小正周期称为周期。例(乙)典型例题一、定义域与值域例1设的定义域为()求的定义域解:要求,则,当时,,,则当时,,也即或例2求并求它的反函数。解:,,,,,,,,,所以的值域为23反函数二、求复合函数有关表达式例1设,求解:,若,则根据数学归纳法可知,对正整数

3、,例2已知,且,求解:令,,因此,,∴三、有关四种性质例1设,则下列结论正确的是[](A)若为奇函数,则为偶函数(B)若为偶函数,则为奇函数(C)若为周期函数,则为周期函数(D)若为单调函数,则为单调函数23例2求解是奇函数,是奇函数,因此是奇函数于是例3设是恒大于零的可导函数,且,则当时,下列结论成立的是[](A)(B)(C)(D)思考题:两个周期函数之和是否为周期函数例1.例2.四、函数方程例1.设在上可导,,反函数为,且,求。解:两边对求导得,于是,故,,由,得,则。例2设满足,求解:令,则23,,,……,各式相加,得,∴因此,于是或(k为整数)思考题设均为常数,求方程的一

4、个解。§1.2极限(甲)内容要点一、极限的概念与基本性质1.极限的概念(1)数列的极限(2)函数的极限;;;;2.极限的基本性质23定理1(极限的唯一性)设,,则A=B定理2(极限的不等式性质)设,若变化一定以后,总有,则反之,,则变化一定以后,有(注:当,情形也称为极限的保号性)定理3(极限的局部有界性)设则当变化一定以后,是有界的。定理4设,则(1)(2)(3)(4)(5)二、无穷小量1.无穷小量定义:若,则称为无穷小(注:无穷小与的变化过程有关,,当时为无穷小,而或其它时,不是无穷小)2.无穷大量定义:任给M>0,当变化一定以后,总有,则称为无穷大,记以。3.无穷小量与无穷

5、大量的关系:在的同一个变化过程中,若为无穷大量,则为无穷小量,23若为无穷小量,且,则为无穷大量。4.无穷小量与极限的关系:,其中5.两个无穷小量的比较设,,且(1),称是比高阶的无穷小量,记以称是比低阶的无穷小量(2),称与是同阶无穷小量。(3),称与是等阶无穷小量,记以6.常见的等价无穷小量,当时,,,,,,,。7.无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。三、求极限的方法1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则2.两个准则准则1:单调有界数列极限一定存在(1)若(为正整数)又(为正整数),则存在,且(2)若(为正整数)又(为正整数),则存在,且准则2:夹逼定理设。若,

6、,则3.两个重要公式公式1:23公式2:;;4.用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换5.用泰勒公式(比用等价无穷小量更深刻)当时,例:6.洛必达法则第一层次,直接用洛必达法则法则1:(型)设(1)(2)变化过程中,,皆存在(3)(或)则(或)(注:如果不存在且不是无穷大量情形,则不能得出不存在且不是无穷大量情形)23法则2:(型)设(1)(2)变化过程中,,皆存在(3)(或)则(或)第二层次,间接用洛必达法则型和型例第三层次:间接再间接用洛必达法则型、型、型7.利用导数定义求极限基本公式:[如果存在]8.利用定积分定义求极限基本公式[如果存在]9.其它综合方法10.求极限的反问题

7、有关方法例:已知(乙)典型例题一、有关无穷小量例1.例2.设当时,是比高阶的无穷小量,而又是比高阶的无穷小量,则等于()(A)1(B)2(C)3(D)4二、通过各种基本技巧化简后直接求出极限23例1设,,求解:例2设,,求解:特例(1)求解:例2中取,,可知原式(2)例3.求解:分子、分母用除之,原式=(注:主要用当时,)23例4设是正整数,求解:∴因此原式特例:(1)()(2)()三、用两个重要公式例1求解:当,原式=1当时,原式=…例2求解一:23解二:例3=例4极限(A)1

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