高等数学讲义(汪诚义)第一章

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1、新东方在线高等数学讲义主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材目录第一章函数、极限、连续1第二章一元函数微分学24第三章一元函数积分学49第四章常微分方程70第五章向量代数与空间解析几何82第六章多元函数微分学92第七章多元函数积分学107第八章无穷级数（数一和数三）12923第一章函数、极限、连续§1.1函数(甲)内容要点一、函数的概念1．函数的定义2．分段函数3．反函数4．隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1)(2)2．用变上、下限积分表示的函数(1)其中连续，则(

2、2)其中可导，连续，则五、函数的几种性质1．有界性：设函数在X内有定义，若存在正数M，使都有，则称在X上是有界的。2．奇偶性：设区间X关于原点对称，若对，都有，则称在X上是奇函数。若对，都有，则称在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称。3．单调性：设在X上有定义，若对任意，都有则称在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意，23都有，则称在X上是单调不减[单调不增]（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）1．周期性：设在X上有定义，如果存在常数，使得任意，，都有，则称是周期函数，称T为的

3、周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。(乙)典型例题一、定义域与值域例1设的定义域为（）求的定义域解：要求，则，当时，，，则当时，，也即或例2求并求它的反函数。解：，，，，，，，，，所以的值域为反函数二、求复合函数有关表达式23例1设，求解：，若，则根据数学归纳法可知，对正整数，例2已知，且，求解：令，，因此，，∴三、有关四种性质例1设，则下列结论正确的是[]（A）若为奇函数，则为偶函数（B）若为偶函数，则为奇函数（C）若为周期函数，则为周期函数（D）若为单调函数，则为单调函数例2求解是奇函数，是奇函数，23因此

4、是奇函数于是例3设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是[]（A）（B）（C）（D）思考题：两个周期函数之和是否为周期函数四、函数方程例1．设在上可导，，反函数为，且，求。解：两边对求导得，于是，故，，由，得，则。例2设满足，求解：令，则，，，……23，各式相加，得，∴因此，于是或（k为整数）思考题设均为常数，求方程的一个解。§1.2极限(甲)内容要点一、极限的概念与基本性质1．极限的概念(1)数列的极限(2)函数的极限；；；；2．极限的基本性质定理1（极限的唯一性）设，，则A=B定理2（极限的不等式性质）设，若变化一定以后，总有，则2

5、3反之，，则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性）定理3（极限的局部有界性）设则当变化一定以后，是有界的。定理4设，则（1）（2）（3）（4）（5）二、无穷小1．无穷小定义：若，则称为无穷小（注：无穷小与的变化过程有关，，当时为无穷小，而或其它时，不是无穷小）2．无穷大定义：任给M>0，当变化一定以后，总有，则称为无穷大，记以。3．无穷小与无穷大的关系：在的同一个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小，若为无穷小，且，则为无穷大。4．无穷小与极限的关系：，其中5．两个无穷小的比较23设，，且（1），称是比高阶的无穷小，记以称是比低阶的无穷小

6、（2），称与是同阶无穷小。（3），称与是等阶无穷小，记以6．常见的等价无穷小，当时，，，，，，，。7．无穷小的重要性质有界变量乘无穷小仍是无穷小。三、求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则准则1：单调有界数列极限一定存在(1)若（为正整数）又（为正整数），则存在，且(2)若（为正整数）又（为正整数），则存在，且准则2：夹逼定理设。若，，则3．两个重要公式公式1：公式2：；；4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）当时，236．洛必达法则法则1：（型）设（1）（2）变化过程中

7、，，皆存在（3）（或）则（或）（注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形）法则2：（型）设（1）（2）变化过程中，，皆存在（3）（或）则（或）7．利用导数定义求极限23基本公式：[如果存在]8．利用定积分定义求极限基本公式[如果存在]9．其它综合方法10．求极限的反问题有关方法（乙）典型例题一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限例1设，，求解：例2设，，求解：特例（1）求解：例2中取，，可知原式（2）23例3．求解：分子、分母用除之，原式=（注：主要用当时，）例4设是正整数，求解：∴因此原式特例：（1）（）（2）（）二、

8、用两个重要公式例1求解：当，原式=1当时，原式=…23例2求解一：解二：例3=三、用夹逼定理求极限例1．求解：令，，则，于