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1、复变函数与积分变换辅导资料三主题：第一章复数与复变函数1—3节学习时间：2016年4月11日-4月17日内容：这周我们将学习第一章复数与复变函数1—3节。在引进复数时，我们着重指出它们与实数类似的地方。复数在加、减、乘、除运算中和实数一样服从同样的代数运算法则，在描述几何和物理状态中它们有类似的作用。自变量为复数的函数就是复变函数，它是本课程的研究对象。本章着重描述复数的概念和基本运算。本周的学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、深刻理解复数的概念2、非常熟练地掌握复数各种表示方法及其运算基本概念：复数、复平面知识点：复数第一节、复数及其代数运算（要求达到“领会”层次）一、复数的概
2、念定义1:设x+iy为复数，其中X,yeR,i=7-T是虚数单位；通常记为z=x+iy,x和y分别称为z的实部和虚部，分别记作兀二Rez,y二Imz。当Imz=0时，那么z=x就是一个实数；当Rez=0,则z=iy称为纯虚数；当ImzHO,那么z=x+iy称为虚数。（1）复数习=坷+纫和22=x24-iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等，记作Z]=z2o（2）加法：Z]+Z2=（兀]+兀2）+'（必+力）减法：Z1_Z?=(坷-x2)+/(>'!-,y2)乘法:=（坷花一x2）+，（西y2+兀2yJ除法：兀』2+卩儿「勺风一州儿22'27勺+『2兀2+旳定义2:设复数z=%+iy
3、,则称A：-iy为复数z的共辄复数，记作z=x-（y。定义3:如果复数z=x+iy（x,yeR）,则称+y?为复数z的模，记作
4、2
5、=b二、复数的运算法则1、交换律：Zj+z2=z2+Z1,Z1Z2=Z2Zj2、结合率：Zj+(z2+z3)=(Zj+z2)+z3；Zl(z2z3)=(ZjZ2)z33、分配律：z((z2+z3)=z,z2+ZjZ3三、复数的共辄运算1、Z=Z,必须且只需Z为实数——zz2、(z,±z2)=zl±z2,(zlz2)=zl-z2,(—)==Z2Z23、z-z=z24、z=z5、z+z=2Rez,z-z=2iImz第二节、复数的几何表示(要求达到“简单
6、应用”层次)一、复数的点表示复数z=x+i.y对应有序实数对(x,y),另一方面，在平面直角坐标系中,6、P(x,y)也对应有序实数对(兀刃，因此复数z=x+iy可用点P(x,y)来表示。复数Z与点Z同义。VV*P(%y)x^yi(}X1二、复数的向量表示复数z=x--iy等同于平面中的向量o#,所以，复数z=兀+砂可用向量op来表TFo三、复数的极坐标表示设ZHO的复数，复数Z的模为I&是复数Z的任意一个幅角，则z=r(cos&+isin0)上式右端又称为复数z的三角表示。注：一个复数的三角表示不是唯一的。典型例题：例1、写出复数I+i的三角表示解：因为11+z
7、=V2,ar
8、g(l+z)=所以1+i=V2(cos—+zsin—)44也可以表示为1+i=V2(cos—4-isin—)44例2、i$Lz=/*(cos0+isin0),求复数丄的三角表示Iz—解：因为一=——,
9、z
10、=r,z=r(cos0-isin0)z
11、z
12、「所以丄=丄(cos0-isin0)=—[cos(-〃)+isin(-0)]zrr四、复数的指数表示由欧拉公式el°=cos&+isin&,可得复数z=r(cos04-isin0)的指数表示10Z二二re典型例题:计算题：将复数z=-2-2V3Z化为指数式2作所以z=4e3’即为所求。五、复球面扩充复平面的一个几何模型就是复球面0第三节
13、、复数的乘彖与方根（要求达到“简单应用”层次）一、复数的乘积与商定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；幅角等于它们的幅角的和。典型例题：计算题：正方形的四个顶点按逆时针方向依次为A,B,C,0（见下图）。已知点、B对应的复数z?=1+V3z,求点A与C对应的复数。V3+1V3-1.+122定理2两个复数的商的模等于它们的模的商；幅角等于被除数与除数的幅角之差。典型例题：计算题：设Ovxv：'的三角式解：由所给复数z化简得于是得到复数z的三角式为z=cos(-2x)+isin(-2x)二、复数的乘方与开方1、复数的乘方设复数z=r(cos04-zsin0),则对正整数n,z"=r
14、n(cosnO+/sinn^)典型例题：计算题：(V3+i)l()=x+(y-V3)z,求实数x与y。解：由于V3+z=2(—+-z)=2(cos-+zsin-)2266得(V3+z)10所以512-512孙=兀+0"),根据复数相等的条件得x=512,j=-511V32、复数的开方开方是乘方的逆运算，设w”=z,则称复数W为复数Z的n次方根。记作W=Zn=匹(zH0)。令z=r(cos&+isin〃)，w=p(cos©+isincp)于是就有pw(cos^+zsin
