《高等数学》辅导资料二

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1、大连理工大学网络教育学院高等数学辅导资料四主题：第一章函数与极限9—10节学习时间：2014年10月20日—10月26日内容：这周我们将学习第一章函数与极限9—10节。无穷小量与无穷大量是函数极限的重要知识，尤其利用等价小是求极限的方法之一。本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下：基本概念：无穷小量、无穷大量知识点：利用等价无穷小求极限第九节、无穷小与无穷大一、无穷小若在自变量的某种变化趋向下，函数以零为极限，则称在的这种趋向下，为无穷小量（或无穷小）。说明：1、无穷小量并不是表达量的大小，而是表达量的变化性态，或者说它是描述

2、在某个过程中量的变化趋势。2、零是可以作为无穷小量的唯一的数，其他任何数，即使其绝对值是很小很小的数，也不是无穷小量，必须将无穷小量与很小很小的数区分开来，不可混为一谈。二、无穷大若在自变量的某种变化趋向下，自某时刻起，函数的绝对值可以大于预先给定的任意大的正数，则称在的这种趋向下，为无穷大量（或无穷大）。称当时，为无穷大量，常常形式上记为。称当时，为无穷大量，常常形式上记为。说明：1、无穷大量也是描述在某个变化过程中量的变化趋势，它不是数，即使绝对值非常大的常数也不是无穷大量。2、还要指出，无穷小量与无穷大量总是与自变量的变

3、化过程相联系的，脱落变化过程谈无穷大量与无穷小量是没有意义的。三、无穷小量的性质性质1：若为无穷大量，则其倒数为无穷小量；若为无穷小量，且，则为无穷大量。第4页共4页大连理工大学网络教育学院性质2：的充分必要条件是，其中当时为无穷小量。第十节、无穷小量的比较一、函数连续性的定义定义：设若，则称在时，较为高阶无穷小量，常记为。若，则称在时，较为低阶无穷小量。若，则称在时，与为同阶无穷小量。特别当时，称在时，与为等价无穷小量，常记为。当时，性质：若当时，且存在，则。说明：上述性质常称为等价无穷小量代换。这个性质常常使用在极限运算中

4、，起到简化运算的作用，但必须注意，只能在乘除中使用，不能在加减运算中使用。范例解析：1、选择题当时，下列（）为无穷小量。A、B、C、D、答案：B2、选择题当时，与比较，则（）。A、是较高阶的无穷小量第4页共4页大连理工大学网络教育学院B、是较低阶的无穷小量C、与是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D、与是等价无穷小量答案：A1、选择题当时，是的等价无穷小量，则等于（）。A、0B、1C、2D、3答案：B解析：由等价无穷小量的定义可知，2、选择题当时，与等价的无穷小量是（）。A、B、C、D、答案：B3、填空题设，则。答案：解析：由于

5、当时，，可知，可知。4、计算题计算极限。解：所给极限为“”型，注意当时，。因此第4页共4页大连理工大学网络教育学院附：扩展知识—无穷小量简史“无穷小的量”这个概念最初在埃利亚学派有所讨论。阿基米德在他的《机械原理方法论》初次提出过一种和无穷量有关的逻辑上严密的叙述。不过在古希腊的数学系统里，实数并没有独立的存在地位，而是用几何上的长度来表示：1是代表某条线段的规定长度，用来给出测量所需的长度单位，数的加减法用线段的延长和截短来表示。阿基米德所说的是：对任意两个长度不等（无论长度相差多少）的线段，在长线段里不断截去短线段的长度，

6、在有限次之后就不能再截下去，因为那些短线段长度的“和”超过了原本较长的那一条。如果把线段长度理解成数的话，则反映了实数集的阿基米德性质：没有任何实数x可以满足条件

7、x

8、>1，

9、x

10、>1+1，

11、x

12、>1+1+1……，也就是说，无穷大的实数并不存在。尽管如此，阿基米德还是把无穷大量和无穷小量用于启发式的论证中，但在完整的数学证明里则拒绝使用它们，而致力于使用“穷竭法”,类似于现在的“ε-δ语言”。牛顿和莱布尼兹发展微积分学时使用过无穷小量，但这样的不严格使用引来一些批评者的攻击。贝克莱主教就是其中之一。尽管数学家、科学家、工程师等

13、不断使用无穷小量来得到正确的结果，微积分却一直到十九世纪后半叶才等到了其形式上的数学基础，这是由卡尔·魏尔斯特拉斯等人以极限概念为基础来完成的。在二十世纪，无穷小量才得到了严格的处理，成为一种“数”。第4页共4页