数理金融学_张永林编著_练习题参考答案

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1、第一章练习参考答案1.解：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是W=忌他的最优化问题是maxlogc°+2(logck/+logcih)c0^c}a>cb2S.t・W_(C°+0Qa+0m)=OCO^Ca^Cb—°l/c°=/l+“o英一阶条件为：*(1/切)=几0,+儿5+0几+編7“c；・=0,z=0,a,b给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而点接求解最优。因此，Ar.

2、=0(z=0,6z,/?)o对于c我们立即得到如下解：111C—,c.f—、久久2血_115"22血2把c的解代人预算约束，我们可以得到A的解：A=-(0最后，我们有c=—w,cia=21w1w兀5严兀可以看出，参与者把-半财富川作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态卜的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。2.解：考虑一个经济，在1期冇两个概率相等的状态a和b。经济中冇参与者1和2,他们具冇的禀-0-200赋分别为：勺：1°°一_0勺：°一—50两个参与者都具有如下形式

3、的对数效用函数：U(c)=logc()++(logj+log务)在市场上存在一纽完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记0二[九；0」为状态价格(向量)，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为w=ie,这里0=[1；如；而£是他的禀赋。这时，最优化问题变成了:maxlogc0+-(logc“+logch)c2S・t・co+(j)aCa4-(/)hCb=VV该问题的解为c=丄叫,4^Ck.a这里VV1=100而vv2=2

4、000+500o均衡由市场出清决定。冇两个交易证券，每一市场都应该出清:C“+C2«=_1100

5、12000+500,-0040,4札C,b+C2,b~1100J2000+500—504g4g均衡价格的解为0=1/4和此=1。参与者2的财富为%=200(1/4)+(50)(1)=100。因此,参与者2和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是q二5二[50;[100;25]]。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划也应该相同。现在让我们來看看均衡配置。对■于每个参与者，他的相对边际效用为2("仏)—％—叫门Jl/

6、4,3=a(1/%。)2%2叭/(4血)“〔1,co=b这对于两个参与者來说是一样的。1.解：设投入金额是ax,0<6/<1,投资者的投资结果记为X,它等于兀+Q兀或兀—a兀，出现这两种结果的概率分别是卩，1-〃，它们的期望效用为：Plog((l+a)x)+(1-p)log((l-a)x)=Plog(l+a)+Plog(x)+(1-p)log(l-a)+(l-p)log(x)=log(x)+plog(l+a)+(1_p)log(l-a)。为求出d的最优值，对上式关于。求导_P__1+a1—dPlog(l+a)+(1—p)log(l—a)得：令上式

7、等于0,得:(Plog(l+a)+(1—p)log(l-a))=p-ap=p+a-ap或a=2p-lo所以投资者每次都应投资他现有财富的100(2p-l)%o例如，如果获利的概率〃=0.6,则投资者应该投资全部财富的20%o如果p=0.7,他应该投资40%o(当/;<1/2时，容易证明最优投资数量为()。)第二章练习参考答案1.解：由于0=°°[=1.25,(0.20)2所以r.=0.06+1.25(0.10-0.06)=0.11。即股票的期望回报率为11%O第三章练习参考答案1.解：设"I二y，w2=100-y,由式E[W]=w+工w’e/=1

8、得:£[W]=100+0.15y+0.18(100-}9=H8-O.O3y。又由于c(l，2)=pvxv2=-0.02,由式Var(W)=£w树+£》叱WjC(i,j)得：Var(W)=y2(0.04)+(100-y)2(0.0625)-2y(100-y)(0.02)=0.1425/-16.5y+625o所以我们应该选择y,使下式的值达到最大：118-0.03y-0.005(0.1425/一16.5y+625)/2或等价的，最大化0.01125^-0.0007125//2o简单计算后得知y取下值时，上式达到最大:0.011250.0007125=

9、15.789o即，当投资15.789于证券1,投资84.211于证券2时，期末财富的期望效川达到最大。将y=15.789代入前面等式，得