【精品】毕业论文截稿

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1、凸函数的等价命题及应用杨乐强(德州学院数学系山东德州253023)摘要:本文主要从凸函数的各种定义入手，分别讨论了凸函数的一些性质，然后给出了凸函数的几个等价命题，最后利用凸函数的性质及等价命题证明了詹森不等式,Holder不等式，从而给出了凸函数的一些应用.关键词:凸函数，定义，性质，等价命题,应用.1、弓I言凸函数是数学中一-类极其重要的函数，它在数学规划，最优化理论、运筹与控制理论、模具设计等领域中具有十分重要的作用。本文将给出凸函数的定义、性质及相应的等价命题，然后讨论凸函数在极值问题屮以及•其他方面

2、的应用。2、凸函数的定义及定义之间的等价性的证明.定义1：设函数f(x)在区间I上有定义，当且仅当Vxbx2属于I,冇/(込1)，则称f(x)为I上的凸函数。22定义2:设函数f(x)在区间I上有定义，当且仅当Vxbx2Xn,属于I,有/(儿+兀+……+»)

3、设函数f(x)在区间I上有定义，当且仅当V人》0且£人=1/=1(i二1,2・・・・・n),Vx】,X2・・・・・・Xnwl,有f(£免內)5£&/(兀)，则称f(x)为I/=1/=1上的凸函数。定义5:设函数f(x)在区间I上冇定义，当但仅当0Xi,X2,x3eI,Axi

4、为i上的凸函数。1兀3.g)上述定义中的若改为“<”，则得f(x)为I上的严格凸函数。区间I上可导或二阶可导的凸函数还可借助导数f(x)的单调递增或f(x)来判定或定义.（1）定义1与定义2等价。证明“定义2=＞定义1”显然成立，在⑵中令冷=2即得（1）式，只要证明“定义1=＞定义2”。采用反向归纳法：由⑴式知当z?=2时⑵式成立，现证斤=4时（2）式成立。事实上，任意的G/,由⑴式有:X.4-X,X3+X4f(X^X2“禺+兀、f(x}+x2+x3+x4=22)<八2'八2'

5、/(兀)'4722_4此即对⑵式〃=4时成立，一般的，对任意正整数k,重复上面的过程，应用2k⑴式k次，可知：川+“;…+耳/3）+/（小…+/厲）,这表明⑵式对一切n=2k皆成立。下证⑵式对n=k+成立时,必对n=k成立。记7=…5则宀+…W可得J".；；"'假若⑵式对n=k+i成立,则有:于（”=于（召+兀+…•…+母•+/）§/（召）+/（兀）+……+/（兀）+/（/）,两边同乘以£+1£+1R+1,减去/（r）,最后除以k,由」+兀+…•…f从而口j得：兀坷+心+•……+兀）"（和+/也）+……+公

6、）,此即⑵式对〃★也成立,kk证毕。（2）定义3与定义1,2等价。（0,1）,式成立，事实上,证明：“定义3=定义1,2”，在⑶式中令A=j可得⑴式成立，即定义3蕴含定义1,由上面的证明可知，定义1,2等价，故定义3也蕴含定义2。“定义1,2=＞定义3”Vx,,x2gZ若X、=勺,（3）式显然成立,州g且％€（°，1），先证⑶式对2为有理数n/(久坷+(l—2)兀2)=/(—兀】+(l一一)兀2)=/(—!)nnmn-mmn-m入、/S/入、/Vf(X+……+兀1+毛+……+兀2)V/OJ+……+于(西)

7、+/(兀2)+……+/(兀2)nn^-/(^)+(l--)/(x2)=Z/(x1)+(1-2)/(x2)o此即/lw(0,l)为有理数的情形的nn证，若2e(0,l)为无理数，则存在有理数人w(0,l)S=l,2……),使得lim人=几，"—>8注意到4x1+(1-4)x2,表示的点都是区间T内部的点，由凸函数的性质知/(切在这些点上连续，从而/(2x1+(l-/l)x2)=/(lim2rtx1+(l-2H)x2)=lim/(人內+(1-人)吃),对于有理数HT8H—>00处(0,1),利用上面的结果有/(&

8、內+(1-人)兀2)5人/3)+(1-人)/(兀2)，上式中令71T00取极限并联系上式,wf(Ax{+(1-A)x2)定义3”，只要在⑷中令〃=2即得，“定义3=>定义4”用数学归纳法可证，定义4即为詹森不等式，证明过程在木文凸函数的应用屮已