第13招_如何让求反函数

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1、第13招如何让求反函数？如何让利用反函数的概念和性质解题?反函数的内容在高考中是常考的知识点，□多以选择题、填空题的而形式岀现.解法指导与经典范例(一)求函数y=f(x)的反函数的方法步骤1.把原函数尸f(x)看作是以x为未知数的方程，解方程求出x=/-,(y)；2.把x、y互换，得y=/-J(4这就是原函数y=f(x)的反函数；3.写出反函数的定义域.注意：(1)求函数的反函数时，要从y二f(x)中解出x,在变形过程中如果遇到平方、开方、去分母等，不能改变原函数式中x、y的取值范围，因此写反函

2、数的解析式时必须连同其定义域写在一起.(2)分段函数的反函数仍是分段函数.要求分段函数反函数，可先分别求出各段两数的反两数，然后再合并在一起.【例1】2001.全国、广东文、理一⑹函数y=2'x+l(x>0)的反函数是(A」og2-^—,xe(1,2)x-1C.}J=log2—!—(1,2]x-1B.y=-log2——(1,2)x-1D.y=-log2—!—,xg(1,2]x-1解一•・•X>0,・・・l

3、为y=log.—^—,xe(1,2).因此应选A.x-1解二(排除法+特殊值判断法)vx>0,/.l

4、.对反函数来说,x=

5、时,y应等于1.而这时一log2—二-log.J—=-1H1,.・・B被排除.因此应选A.兀j2_]2【例2】求函数f(x)=xx+2x的反函数.解"2(节0)一Q+2x[x<0)当xh0时，由y=/+2兀，即/+2x-y=0,命军得=-1+J1+)；••/x>0,.y=x

6、2-^2x>0,因此反函数为y=J+J1+兀(尢»0)当x<0时,由y=-x2+2x,即兀$-2x+y=0解得兀=-1-Jl_y.x<0时,・••y=-x2+2%<0,因此反函数为y二-1-Vl-x(x<0)/.f~l(xk1++-°).[-1-VPx(x<0)【例3】函数y=Z口的反函数是其本身，则a的值是()x+aA.-2B.OC」D.22r_3解一由y=得天y+ay=2兀一3,(2—y)x=ay+3,当yH2时:兀+a“•*◎,・・•反函数是)pg.2-y2-x依题意：生空三竺三易见。=-

7、2应选人x+d2-x32x-3解二(特殊值判断法)当x=0时f(0)=-,由于y=的反函数是其木身，ax+a(3、2x3QoAx=—时,y=0/f弋入得=0,3=0,g=_2.选A.a3aaa(二)反函数概念在解题中的应用有关反函数的一些问题，如求反函数的定义域、求反函数的某个函数值，求函数的值域、判断反函数的奇偶性、单调性、作反函数图象等问题，可以不必把反函数求出來，而是利用反函数与原函数的关系，将其转化为原函数的相应问题来求解或证明.1.求反函数定义域的方法(1)直接求，先求出反函数在求其定

8、义域；(2)间接求，利用：“反两数的定义域就是原函数的值域”的关系，改为去求原函数的值域(若原函数的值域比较好求•)【例4】1999.上海文理一(2)函数f(x)=log2x+l(x>4)34^1og2x>log24=2,r.f(x)=log2x+l>3.即f(x)的值域是[3,+®o),.・・反函数f"(0)=bo.f(b)=d的关系，改为去解方程f(x)=x0,方程的解就是所求的反函数的值.【例5】1993.全国文、理二(23)设/(x)=4x-2Y+

9、,，W，_1(0)=•解一令4V-2X+1=0,解得兀=1,B

10、J/(1)=O,/./-1=(0)=解二可求反函数为y,(x)=log2l+(x+l并(x>-l).于是有/-'(0)=10§21+(0+詁=1.3.利用反函数求函数值域的方法市于反函数的定义域就是原函数的值域，因此要求原函数的值域可改为去求其反函数的定义域.特别是形如y=竺上。（°主0）的分式函数求值域时常用此法.ax+b2x-【例6】求函数y=——的值域.兀+1解由y=—~得(2—yb=y+l,当y^2时，x=+1.反函数为y

11、=A+1.(x/2),兀+12—y2-x因此原函数的值域为yw（―oo,2）U（2,+oo）.1.判断反函数奇偶性、单调性的方法由于反函数与原函数具冇相同的单调性和相同的奇偶性，因此要判断反函数的奇偶性、单调性时，不必将反两数求出，而改为去判断原两数的奇偶性、单调性.注意：由于偶函数没有反函数，多以反函数也不能使偶函数.【例7】1992.全国文理一（6）函数yX〒的反函数（）•A.是奇函数，它在（0,4-oo）上是减函数B.是偶函数,它在（0,+oo）上是减函数C.是奇函数，它在（0,+oo）上