经验分布函数及其应用

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1、经验分布函数及其应用经验分布函数定义定义：设无1，无2，・・・，Xn是总体（离散型、或连续型，分布函数F（X）未知）的n个独立观测值,按大小顺序可排成xi*Xn我们称此函数凡（兀）为总体的经验分布函数或样本分布函数。简单性质：1•对于每一组观测值即=心，心1，2,……，n,凡*（兀）单调，非降，左连续且在"尢

2、*,心1,2,……小点有间断点，在每个点的跳跃值都是7。2•显然°SF”（x）'l,具有分布函数的其他性质。3•凡*（兀）为样本兀1，X2，・・・，劝的函数，是一统计量，即为一随机变量，由于无1，兀2，・・・，呛相互独立且有相同的分布函数F（X）,因而它等价于n次独立重复试验的伯努利概型中事件{§<%}发生k次其余斤欠不发生的额概率，即有：P”：(x)=^=C：{F(x)}*{1-F(x)}"-*4•格列汶科定理设总体§的分布函数为F(无),经验分布函数为F'(x)，对于任何实数X,记Dn=supFn（X）-F（-oo<

3、X<4^x>PlimD=O>=1则有尸J其中D也为一统计量用来衡量凡丫兀)与F&)之间在所有的X的值上的最大差异程度，格列汶科定理证明了统计量D以概率为1地收敛于0,也就是如下所要说的经验分布函数的收敛性问题。经验分布函数的收敛性经验分布函数在统计中有着非常重要的作用，是理论分布函数与实际数据间的桥梁，本科教材中已经指出，当样本容量足够大时,经验分布函数依概率收敛于总体分布函数•所以.统计推断才得以以样本为依据，而得到合理的结果。而事实上，经验分布函数与总体分布函数还有更进一步的收敛关系.下简单介绍之我们采用R语言中ecd

4、f(sta⑸函数，ecdf()所属R语言包：stats,1234plot(ecdf(c(morm(10000))),do.points=FALSE,verticals=TRUE,main="模拟正态分布的经验分布函数”)mtext(”样本容量为10000“,side二3,line二0)模拟正态分布的经验分布函数以下用的是采用数学方法画出经验分布函数的代码:123456dat=rnorm(10000)x=density(dat)$xdx=diff(density(dat)$x)[1]y=density(dat)$yplot(

5、x,cumsum(y*dx),main=”模拟正态分布的经验分布函数”)mtext(11样本容量为10000",side=3,line=0)模拟正态分布的经验分布函数样本容量为10000opOCslO■4经验分布函数是一个随机变量，而经验分布函数的观测值就是普通意义上的分布函数，它具有分布函数的一切性质。