2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第十章 第五节 数学归纳法 含答案

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1、第五节数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[小题体验]1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(1)＝________.解析：等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5.答案：1＋＋＋＋2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1

2、)”．当验证n＝1时，上式左端计算所得为________．答案：1＋a＋a23．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝时，当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上__________________．答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)21．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．[小题纠偏]1．已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n－an(n∈N*)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an

3、＝____________.解析：因为a1＝1，a2＝，又S3＝1＋＋a3＝6－a3，所以a3＝.同理，可求a4＝，观察1，，，，…，猜想an＝.答案：2．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是________．解析：因为n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．所以n的第一个取值应是3.答案：3　[题组练透]1．(易错题)用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k

4、(k∈N*)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k

5、)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，所以当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．[谨记通法]用数学归纳法证明等式应注意的2个问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．　[典例引领]用数学归纳法证明：2n＜C＜4n，其中n≥2，n∈N.

6、证明：①当n＝2时，22＜6＝C＜42，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N，k≥2)时，2k＜C＜4k成立，则当n＝k＋1时，由C＝＝＝＝2C＞2C＞2·2k＝2k＋1，即2k＋1＜C.C＝2C＝2·C＜2·2C＝4C＜4·4k＝4k＋1，因此2k＋1＜C＜4k＋1成立，即当n＝k＋1时，不等式成立，所以对任意的n≥2，n∈N，不等式2n＜C＜4n恒成立．[由题悟法]用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用

7、分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．[即时应用]　(2019·南通测试)已知函数f(x)＝2x－3x2，设数列{an}满足：a1＝，an＋1＝f(an)．(1)用数学归纳法证明：∀n∈N*，都有0＜an＜；(2)求证：＋＋…＋≥4n＋1－4.证明：(1)①当n＝1时，a1＝，有0＜a1＜.所以n＝1时，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，不等式成立，即0＜ak＜.则当n＝k＋1时，