第24章圆知识完整归纳

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1、第24章圆第一节圆的有关性质知识点一：圆的定义1、圆可以看作是到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合。2、圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面。（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上。知识点二：圆的相关概念1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。注意：直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径。因此，在提到到“弦”时，如果没有特殊说明，不要忘记直径这种特殊的弦。2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫

2、做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。半圆既不是优弧，也不是劣弧。3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆周。4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。注意：等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。知识点三：圆的对称性1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。注意：（1）圆的对称轴有无数条（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直

3、线”。2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。知识点四：垂径定理及推论（重点）1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，AB是⊙的直径，CD是⊙的弦，AB交CD于点E，若AB⊥CD，则CE=DE，CB=DB，AC=AD注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如图：CD是非直径的弦，AB是直径，若CE=DE，则AB⊥CD，CB=DB，AC

4、=AD。注意：被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图直径AB平分CD，但AB不垂直于CD。重点剖析（1）垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法的理论依据。（2）一条直线如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（被平分的弦不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，这五条中的任意两条，那么必然具备其其余三条。即：①是直径②③④⑤中任意2个条件推出其他3个结论。3、垂径定理的推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙中，∵∥，∴知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）1、圆心角定理：在同圆或等圆中

5、，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。如图，在⊙中，若∠AOB=∠COD，则AB=CD，AB=CD.2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。定理和推论可概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所以的其余各组量也相等。知识点六：圆周角定理及其推论1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。如图：∠ACB=∠AOB，∠ADB=∠AOB.2、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。（2）半圆（或直

6、径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.如图，若AB为直径，则∠C=∠D=90°；若∠C或∠D为90°，则AB是直径。注意：（1）同弧指同一条弧，同一条弧所对的圆周角有无数个，它们的度数都相等。等弧是指同一个圆内能重合的弧或等圆中能重合的弧。（2）“同弧或等弧”改为“同弧弦或等弦”结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们一般不相等。知识点七：圆内接多边形1、圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边形是内接四边形∴第二节点和圆、直线和圆的位置关系知识点一：圆的确定1、过一点作圆：只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A

7、的距离为半径作圆就可以作出，这样的圆有无数个。2、过两点作圆：经过两个点A，B作圆，只要以线段AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径作圆就可以，这样有圆也有无数个。3、过不在同一直线上的三点作圆：过不在同一直线上的三点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此，圆心在线段AB，BC的垂直平分线的交点O处，以O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A、B、C三点的圆，这样的圆有且只有一个。4、要想