高一数学第二章函数同步辅导讲义

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1、第二章函数同步辅导第一讲映射与函数一、辅导内容1．映射、一一映射的定义和概念的理解2．函数的定义、表示。3．函数的三要素及函数的表达方法。二、重点、难点讲解1．映射、一一映射（1）集合A到集合B的映射有三个要素，即集合A、集合B和对应法则.其中集合A和集合是有先后顺序的，因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象.f1f2（2）一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射：①集合A中的每一个元

2、素（一个不漏地）在集合B中都有象（但集合B中的每一个元素不一定都有原象）；②集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一的一个（集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个）.也就是说，图1和图2所示的两种对应不能称为映射.AB××××××××图1AB××××××××图2（3）对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，则这样的映射称为“集合A到集合B上的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合A到集合B上的一一映射”

3、.12345abcdeBA④例1如图3，集合A={1、2、3、4、5}，B={、、、、}.判断下列对应中，（1）哪些是集合A到集合B的映射；(2)哪些是集合A到集合B上的映射；（3）哪些是集合A到集合B上的一一映射.12345abcdeAB①图312345abcdeBA③12345abcdeBA②解（1）②和④是集合A到集合B的映射，①中集合A的元素3在集合中没有象；③中集合A的元素3在集合B中有两个象，它们都不是映射.（2）②是集合A到集合B上的映射.④中集合B的元素b在集合A中没有原象.（3）②是集合A到集合B上的一

4、一映射.例2已知集合A={}，B={}.判断下列各对应f是否是集合A到集合B的映射？一一映射？并说明理由.(1):；(2):；(3):；(4):；(5):解（1）∵，∴.因此对集合A的每一个元素，，所以对应:是集合A到集合B的映射.对于集合B中的每一个元素，由及，有.即集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应:是一一映射.（2）∵，∴.所以对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的象，因此对应:是映射.而集合B中有些元素，如，在集合A中没有原象，因此映射:不是一一映射.（3）∵，∴，∴.

5、由此知集合A的某些元素，如，在集合B中没有象，因此对应:不是映射，更不是一一映射.（4）∵，∴.因此对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的象，所以对应:是映射.由，对于集合B中的每一个元素，，即集合B中的每一个元素在集合A中有唯一的原象，因此映射:是一一映射.（5）集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的象.对于集合A中的元素和，都对应于集合B中的同一个元素，所以对应:是映射，但不是一一映射.2.函数（1）函数的定义.在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义.传统定义由研究变

6、量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种定义的本质是一样的.集合A到集合B的映射:要成为函数，还必须满足两个条件：①集合A、B都是非空集合；②集合A、B都是数的集合.其中集合A就是函数的定义域，而集合B不一定是值域.一般地说，值域C是集合B的子集，即.（若集合，则这个映射就成为集合A到集合B上的映射）.（2）函数的三要素.定义域A，值域C和定义域

7、A到值域C的对应法则，构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数.在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同.（3）区间设、，且.用闭区间[]表示集合{}，用开区间表示集合{}，用半开半闭区间表示集合{}，用半开半闭区间表示集合{}.（4）函数的表示法.函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处.要搞清符号和（为常数）的区别.一般情况下，是一个随自变量的变化而变化的变量，而是当自变量时函数的值，是一个确定的量.与初中接触到的函数不一样，这里的

8、函数可以是在不同区间中（或不同条件下）表达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点，一些线段，或一些曲线.例3判断下列各对函数是否是同一个函数，并说明理由.(1)，；(2)，；(3)，；(4)，(5)，；(6)，.解（1）不是同一个函数，两者的定义域不同，它们的定义域分别为和.（2