高一数学同步辅导讲义(专题讲解)

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1、高一寒假数学同步辅导讲义（专题讲解）第一章集合与简易逻辑专题讲解一、集合的概念、运算与不等式1．在解题过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言），并会用集合语言准确地叙述。2．特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、与、的区别，元素与集合间的从属关系用∈、表示，集合与集合之间的包含与相等的关系用、、、、=表示.3．给定两个集合A，B，它们的运算意义为：A∩B=，A∪B=，CSA=.这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧密相连的，“且”表示两条件要同时成立，“或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这些逻

2、辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用关系：Cs(A∪B)=（CsA）∩（CsB），Cs（A∩B）=（CsA）∪（CsB），与此有关问题的运用韦恩图有示更直观.见表1—9.4．集合M=的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数为2n—1，非空真子集个数为2n－2.含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型.表1命题或且否定┐蕴涵等价集合并集∪交集∩补集C子集相等=关键字词或且非若……则……当且仅当必须

3、且只须自反性A∪A=AA∩A=ACU(CU)A=AAA真子集无A=A对称性A∪B=B∪AA∩B=B∩ACBA=CABA=A若A=B则B=A传递性若AB，BC则AC若A=B，B=C，A=C结合律(A∪B)∪C=A(A∩B)∩C=A∪(B∪C)∩(B∩C)分配律(A∪B)∪C=(A∩C)∪(B∪C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∩C)摩根律CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)【例1】已知集合M=，N=，则M∩N=（）A．（0，1）（1，2）B．C．D．分析集合M、N是用描述法

4、表示的，元素是实数y而不是实数对（x，y），因此M，N分别表示函数y=x2+1（x∈R），y=x+1（x∈R）的值域，求M∩N即求两函数值域的交集.解M==，N==.∴M∩N=∩=，故选D.说明（1）本题求M∩N.经常发生解方程组得或从而选B错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么，事实上M，N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集.（2）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分，，这三个集合是不同的.【例2】给出下面元素与集合或集合之间的

5、关系：（1）0；（2）0∈；（3）Φ∈；（4）a∈；（5）Φ=；（6）∈Φ；（7）Φ∈；（8）Φ，其中正确的是（）A．（2）（3）（4）（8）B．（1）（2）（4）（5）C．（2）（3）（4）（6）D．（2）（3）（4）（7）分析依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.解（1）应为0∈；（2）（3）（4）正确，排除B，再看（6）（7）（8）哪个正确，由Φ是的子集，因此（8）正确，故选A.说明0与只有一种关系：0∈；R与；Φ与也只有一种关系：Φ.【例3】已知集合A=，若A∩R+=Φ，则实数m的取值范围是____

6、______.分析从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2+(m+2)x+1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R+=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围.解由A∩R+=Φ又方程x2+(m+2)x+1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即或△=(m+2)2－4＜0.解得m≥0或－4＜m＜0，即m＞－4.说明此题容易发生的错误是由A∩R+=Φ只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因此方程无零根），而把A=Φ漏掉，因此要全面正

7、确理解和识别集合语言.【例4】已知集合A=，B=，且A∪B=A，则a值为__________.分析由A∪B=ABA而推出B有四种可能，进而求出a的值.解∵A∪B=A，∴BA，∵A=，∴B=Φ或B=或B=或B=.若B=Ø，则令△＜0得a∈Ø；若B=，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B=，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根.∴a∈Ø；若B=，则令△＞0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3，综上a的值为2或3.说明本题不能直接写出B=（），因为a（）可能等于1，与集合元素的互

8、异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.【例5】命题甲：方程x2+mx+1=0有两个根异负根；命题乙：方程4x2+4(m－2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围.分析使命题甲成立的m的集合为A，使命题乙成立的m的集合而为B，有且只有一个命题成立是求A∩CRB与CRA∩B的并集.解因使命题甲成立的条件是△1=m2－4＞