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《函数与方程零点问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、...函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个
2、c也就是方程f(x)＝0的根．[探究] 1.函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？提示：不一定．由图(1)(2)可知．3．函数零点具有哪些性
3、质？提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：(1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x参考学习...)的零点所在的区间一分为二
4、，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )解析：选C 由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不能用二分法求解．2．(教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是( )A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C．函数f(x)
5、在区间[2,16)上无零点D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析：选C 由题意可知，函数f(x)的唯一零点一定在区间(0,2)内，故一定不在[2,16)内．3．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.(－1,0) B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析：选C 令f(x)＝ex－x－2，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)
6、＝7.39－4>0，f(3)＝20.09－5>0，所以方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：∵函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点为2和3，∴即a＝5，b＝－6.参考学习...∴g(x)＝bx2－ax－1＝－6x2－5x－1，令g(x)＝0，得x＝－或－.答案：－，－5．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是________．解析：∵f
7、(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上有零点，且f(x)为一次函数，∴f(－1)·f(1)<0，即(1－5a)(1＋a)<0.∴a>或a<－1.答案：a>或a<－1确定函数零点所在的区间[例1] (1)(2013·唐山模拟)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( )A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)(2)(2013·朝阳模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)
8、D．(0,2)[自主解答] (1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0.(2)由条件可知f(1)f(2)<0，
