浅谈函数与方程中的零点问题

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1、浅谈函数与方程中的零点问题　　摘要方程的根与函数的零点将方程与函数紧密联系在一起，它告诉我们求方程的根可以通过求函数的零点产生，当然，求函数的零点也可以通过求方程的根产生。二分法是通过函数的零点求方程的近似解的一种方法，在用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”。关键词函数方程零点中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1002-7661（2014）09-0088-02函数与方程思想是高中数学中的一种基本思想和方法，涉及的知识点多，几乎渗透到中学数学的各个领域，也是高考考查的重点，我们只有教会学生去分析问题、转化问题，才能达到解决问题的目的。函数思想在解

2、题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。5函数思想与方程思想的联系十分密切。函数的思想是分析和研究数学中的数量关系，利用函数的图像和性质将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式问题和某些代数的问题，巧用函数的思想，会使问题迎刃而解。方程的思想是分析数学问题中变量间的等量关系，利用解方程或方程组进一步

3、去分析问题并解决问题。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题都可利用解二元方程组来巧妙解决。方程的根与函数的零点将方程与函数紧密联系在一起，他告诉我们求方程的根可以通过求函数的零点产生，当然，求函数的零点也可以通过求方程的根产生。二分法是通过函数的零点求方程的近似解的一种方法，在用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”。函数零点的概念是在分析了众多图像的基础上，由图像与x轴的位置关系得到的一个形象的概念，准确认识零点的概念要注意以下几点：（1）函数的零点是实数，是函数的图像与x轴交点的横坐标，而不是一个点；（2）函数y=f（x）的零

4、点也是方程f（x）=0的实数解；（3）并非所有的函数都有零点。5判断函数零点个数的方法：（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。令f（x）=0直接求出方程的解，有几个解函数就有几个零点，这里涉及到解方程的问题数零点就是函数的图像与x轴的交点的横坐标就是对应方程的根，函数有几个零点对应方程就有几个根。对于二次函数的零点非常有研究的价值：它涉及判别式、韦达定理、二次函数的图像等重要知识点。研究二次函数的零点有利于培养学生综合运用数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等多种数学思想方法（2）

5、如果函数y=f（x）在[a，b]上图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f（a）f（b）�50，且是单调函数，那么，这个函数在（a，b）内必有惟一的一个零点。利用零点存在定理结合函数图像与性质（如单调性、奇偶性）确定函数零点的个数；（3）通过函数图像与x轴的交点个数，或将其转化为两函数的图像交点的个数来确定函数零点的个数，体现数形结合思想的应用。数形结合是一个重要的数学思想，就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。利用数形结合思想解决数学问题也与目前提倡的新课程改革的思想是一致的结合二次函数的图象与坐标

6、轴交点的个数，判断一元二次方程根的存在性以及根的个数；理解二次函数的零点与一元二次方程根的联系。能合理地运用从特殊到一般的方法，归纳出一般函数零点的概念，感悟函数与方程的联系以及转化与化归的思想。对于函数零点存在性的定理，首先，我们知道它只能判断方程的根是存在的，至于方程的根是什么，我们不得而知。其次，当不满足零点存在性定理的条件时，并不能说函数的零点一定不存在，这个定理具有局限性。其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求函数的零点或方程的近似解做好知识上和思想上的准备，让学生通过感知体验并加以确认，要结合具体的实例，加强对定理进行的全面认识。所谓二分法

7、就是通过不断地把函数零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到y=f（x）的零点的近似值的方法。用二分法求函数的零点或方程的近似解的过程中要注意：首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度检验所得到的区间是否满足精确度要求，以决定是否停止计算。这当中蕴含了算法思想、符号化、模型化的思想，这些思想是现代数学的重要思想，是信息技术与