专题8.6压轴题高分策略之空间角与距离问题-2017年高考数学（文）热点+题型全突破

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1、压轴题高分策略之空间角与距离问题空间角与距离问题在立体几何考题中，主要以选择题和解答题的第（2）问中111现，问题涉及到解三角形、空间想彖，推理证明综合一起考查.就考题屮常见问题进行归类分析如下；类型一异面直线所成的角；类型二直线与平面所成的角；类型三点到面的距离问题【基础知识整合】知识点1、空间角1.异面直线所成的角；（1）定义：已知两条异面直线eb,经过空间任一点0作直线a'//a,B〃b,把田与//所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）；（2）范围：（0,申.2.直线与平面所成的角；（1）定义；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成

2、的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是頁角,若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0。的角.（2）范围：0,2•3.二面角的有关概念；（1）二面角：从一条直线出发的两个半平而所组成的图形叫做二面角;（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.知识点2、空间距离（1）点到面距离的定义；为过点作到平面的垂线，垂足与该点间的线段即为点到面的距离。如图（2）等体积法：把点到平面的距离转化为三棱锥的高，然后利用等体积法求解

3、.类型一异面直线所成的角【典例1][2016高考新课标1文数】平面。过正方体ABCD—A'BCDi的顶点Aa〃平面CBQ,an平面ABCD=m,aC平面ABB}=斤,则m,料所成角的正弦值为（）(A)732(D)【变式练习】1.[2014课标2卷文10】直三棱柱ABC-AlB}Ci中，Z3CA=90。，M,N分别是AC】的中点,BC=CA=CC],则与AN所成角的余弦值为（A盒B.

4、V30-10D.2.[2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD9AB=BC=3,CZ>1,AD=^、ZADC=90。•沿直线AC将△ACD翻折成△ACDZ,直线

5、AC与BD，所成角的余弦的最大值是3.【2016高考上海文科】将边长为1的正方形A4QQ（及其内部）绕00

6、旋转一周形成圆柱，如图,如长为竺，久色长为匹，其屮5与C在平面AA^O的同侧.63（2）求异面直线015与OC所成的角的大小.【解题技巧与方法总结】用平移法求异面直线所成角的三步曲1・一作：作异面直线所成的角常用平移法，平移法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.2.二证：即证明作出的角是异面直线所成的角.3.三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出

7、的角是钝角，则它的补角才是耍求的角.类型二直线与平面所成的角【典例1)[2016高考天津文数】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED丄平面ABCD,EF

8、

9、AB,AB=2,BC=EF=1,AE=a/6,DE=3,ZBAD=60°,G为BC的中点.(I)求证：FG〃平面BED；(II)求证：平面BED丄平面AED；(III)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【变式练习】1.【2016高考浙江文数18】如图,在三棱台ABC-DEF+,平血BCFE丄平面ABC,ZACB=90。，BE=EF二FCT,BC=2,AC=3.(I)求证：BF丄平面ACFD；

10、(II)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.(第18题图)2.[2014年.浙江卷.文20】如图，在四棱锥A一BCDE中，平面ABC丄平面BCDE；ZCDE=ZBED=90°,AB=CD=2,DE=BE=,AC=41・(1)证明：4C丄平面BCDE；(2)求直线4E与平面ABC所成的角的正切值.【解题技巧与方法总结】线面角的求法1.在斜线上一点找出平面的垂线，然后找出斜线的射影，最后确定线面角并求出。2.关键是找出斜线上的点与面的垂线，常常运用线与面垂直的判定来找。类型三点到面的距离问题【典例U.L2014全国2,文18】如图，四棱锥P-ABCD^

11、,底面ABCD为矩形，P4丄平面ABCD,E是PD的中点.(I)证明：PB//平面AEC；(II)设AP=1,AD=43,三棱锥P-ABD的体积V=—,求A到平ffiPBC的距离.【变式练习】1.[2015高考广东，文18】如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,BC=3・(1)证明：BC//平面PDA；(2)证明：BC丄PD；(3)求点C到平面PDA的距离.【解题技巧与方法总结】解决点到面的距离常常运用两种方法;1.运用点到面的距离，转化为线与面的垂直问题来解决。2.将点放入几何体屮，运用等体积法求出高解决

12、。