浅谈二次函数

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1、浅谈二次函数在高中阶段的应用在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基木概念和基木性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用，对二次函数还需再深入学习。一、进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主耍是用映射观点来阐明函数,这吋就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(

2、定义域)到集合B(值域)上的映射/:A—B,使得集合B中的元＞y=ax2+bx+c(a^0)与集合A的元素X对应，记为/(x)=ax2+bx+c(aHO)这里ax'+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在値域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型I：已知/(x)=2x2+x+2,求/(x+1)这里不能把/(x+1)理解为x=x+l吋的函数值，只能理解为自变量为X4-1的函数值。类型II:设/(x+l)=x?—4x+l,求/(x)这个问题理解为，已知对应法则/下，定义

3、域中的元索x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象，其木质是求对应法则。一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。f(x+1)二x‘一4x+l二(x+l)2—6(x+l)+6,再用x代x+1得/(x)二x'—6x+6(1)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+l,则x=t~l/.(t)=(t-1)2—4(t-l)+l=t2—6t+6从而/(x)=x2—6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象。在高屮阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(一I一£］及［一£，+8)上的单调性的结论

4、用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型III：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。(1)y=x2+21x—11—1(2)y=

5、x2-l

6、(3)-x2+21x

7、—1这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画岀其图象。类型IV设/(x)=x2-2x-1在区间［t,t+l］±的最小值是g(t)。求:g(t)并画出y=g(t)的图象解：/(x)=x2-2

8、x-1=(x-1)2-2,在x二1时取最小值一2当1w［t,t+1］即OWtWl,g(t)=—2当t>l时，g(t)=/(t)=t2—2t—1当tvo时,g(t)=/(t+l)=t2-2t2-2,(t<0)g(t)二<-2,(OWtWl)t2—2t—1,(t>l)首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩同和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如:y=3x2—5x+6(-3WxW—1),求该函数的值域。三、二次函数的知识，可以准确反映

9、学生的数学思维：类型V：设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程/(x)-x=O的两个根Xl，X2满足0

10、0解题思路：X本题要证明的是x

11、象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：(I)先证明X0,乂a>0,因此/(x)>0,即/(x)-x>0.至此，证得x

12、,A/(0)