高中常见分段函数题型归纳

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1、......分段函数常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．1．求分段函数的定义域和值域例1.求函数的定义域、值域.解析：作图,利用“数形结合”易知的定义域为,值域为（-1，2]U｛3｝.例2.求函数的值域.解析：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0.所以，原

2、函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).2．求分段函数的函数值例1.已知函数求.解析：因为,所以.例2.已知函数，求f{f[f(a)]}(a<0)的值.分析:求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由a<0,f(a)=2a，又0<2a<1,,参考材料......　，所以，.注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．练1.设则__________练2.设则__________3．求分段函数的最值例1.求函数的最大值.解析：当时,,当时,,当时,,综上有.例2.设a为实数，函数f(x)=x2+

3、x-a

4、+1,x∈R,求f(x)的最小值.分析：因为原函数可化为所

5、以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.解：当x

6、从而达到求解的目的.4．求分段函数的解析式例1.在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数的表达式为（）解析：当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式为,所以,当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式,所以,综上可得,故选A.参考材料......例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关

7、系用图2的抛物线段表示：(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)；(II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?　　　　　　解析：(I)由图l可得市场售价与时间的关系为由图2可得种植成本与时间的函数关系为（0≤t≤300）。(II)设t时间的纯收益为h(t)，由题意得h(t)=f(t)-g(t)　再求h(t)的最大值即可。注：观察图1，知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+10

8、0。5．作分段函数的图像例1.函数的图像大致是（）参考材料......例2.已知函数f(x)=

9、x2-2x-3

10、的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：∵f(x)=

11、(x-1)2-4

12、=

13、(x+1)(x-3)

14、,所以由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.例3.已知函数f(x)=

15、x2-2x-3

16、的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：∵f(x)=

17、(x-1)2-4

18、=

19、(x+1)(x-3)

20、,　　∴参考材料......由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称

21、性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.6．求分段函数得反函数例1.求函数的反函数.解：∵f(x)在R上是单调减函数，　　∴f(x)在R上有反函数.　　∵y=x2+1(x≤0)的反函数是(x≥1),　　　y=1-x(x>0)的反函数是y=1-x(x<1),　　∴函数f(x)的反函数是　　注：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.例2.已知是定义在上的奇函数,且当时,,设得反函数为,求的表达式.解析：设,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以,且,所以,因此,从而可得.例3.已知，若记为的反函数，且则_____