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1、抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。常见题型及其解法如下：一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.二、特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f（x±y）＝f（x）±f（y）幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或]指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[三、常用变换技巧四、经典例题及易混易错题型(一)定义域问题这类问题
2、只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解.例1.函数的定义域为，则函数的定义域是___.分析：因为相当于中的x，所以，解得或.例2.已知函数的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域.分析：已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数的值域.的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足,从而函数f（x）的定义域是［1，4］例3.若函数的定义域为，求函数的定义域.解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：.所以函数的定义域为例4.已知的定义域为，则的定义域是______.分析：因为及均相当于中的x，所以(1)当时，则(
3、2)当时，则的定义域为，意思是凡被f作用的对象都在中.评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题.例5.定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为______，值域为______. 答案:(二)函数值问题1.赋特殊值法求值例1.已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______.分析：在条件中，令，得，又令，得，例2.设函数的定义域为，且对于任意正实数都有=恒成立。若已知,试求：（1）的值;（2）的值，其中为正整数.分析：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律.（1）令，则，∴.再令
4、=2,=,则,∴（2）由于，依此类推就有其中为正整数.例3.已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求f（3），f（9）的值。解：取，得因为，所以又取得抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决.2.利用周期函数求值例4.已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值.分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，所以故是以8为周期的周期函数，从而例5.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.分析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令
5、x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=,3.利用约分化简求值.2000.(,原式=16)(三)值域问题例1.设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(
6、0)≠0矛盾,所以f(x)>0.3.例2.若函数h(x),g(x)均为奇函数，f(x)＝ah(x)+bg(x)＋2在（0，＋∞）上有最大值5，求f(x)在（－∞，0）上的最小值。解析：由于h(x),g(x)均为奇函数，故ah(x)+bg(x)也是奇函数，令F(x)=ah(x)+bg(x)，则f(x)=F(x)+2。由f(x)在（0，＋∞）上有最大值5知，F(x)在（0，＋∞）上有最大值为3。又因F(x)是奇函数，故F(x)在（－∞，0）上有最小值为－3．从而f(x)在（－∞，0）上有最小值为－1.(四)奇偶性问题根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系.f(x)是偶函数与
7、f(x+a)是偶函数的区别：f(x+a)为偶函数，则f(x+a)=f(-x+a)；f(x)是偶函数，则f(x+a)=f(-x-a).f(x)是奇函数与f(x+a)是奇函数的区别：f(x)是奇函数，则f(-x-a)=-f(x+a)；f(x+a)为奇函数，f(-x+a)=-f(x+a).如f(2x+1)是奇函数:f(-2x+1)=-f(2x+1).原因如下：令g(x)=f(2x+1)，即g(x)是奇函数问题，即g(-x)=-g(x)，即f(-2x+1)=-f(2x+1).例1.已知的定义域为R，
