浅谈MATLAB在数值积分中的应用【毕业论文】

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1、（20__届）本科毕业设计信息与计算科学浅谈MATLAB在数值积分中的应用18摘要：本文归纳总结了求数值积分的几个重要方法，探讨了这些方法在MATLAB上的实现。借助MATLAB中的GUI功能，设计一个简单实用的积分操作界面。在该界面上可以实现数据处理和相关图形的功能，从而实现数值积分的可视化。关键字：数值积分MATLABGUI可视化NumericalIntergrationOfMATLABApplicationAbstract:Thisarticlesummarizesseveralimportantnumericalintegratio

2、nmethods,thendiscussesthesemethodsinMATLAB’simplementation.WecandesignasimpleandpracticaluserinterfacewithGUI.Theinterfacecanbeachievedindataprocessingandrelatedgraphicsfeatures，thatenablesthevisualizationofnumericalintegration.Keywords:numericalintegration;MATLABGUI;visua

3、lization前言在微积分中，我们已知函数在闭区间上连续，且存在原函数，求在该区间上的定积分可用牛顿—莱布尼兹公式求解，即。用牛顿—莱布尼兹公式计算积分的方法在理论上和解决实际问题中起到很大的作用，但在工程技术领域常遇到复杂的情况无法用牛顿—莱布尼兹公式求解。如某些被积函数的原函数不是初等函数；或者被积函数非常复杂；或者被积函数的原函数结构非常复杂；再者就是没有具体的表达形式，只有一些零散的测试数据、表格或图形。诸如此类情况，很多可采用“数值积分”的方法求出积分近似值。在积分所限定的区间中，被积函数的插值式在个点处求值，这些点称为节点。节

4、点用表示，并假设它们有序且各不相同（即，）。如果且，那么区间就是闭的，用符号表示，如果且，那么区间就是开的，用符号表示。我们已经知道，分段多项式的插值比单个多项式的全局插值更加优秀，这个结论对数值积分方法也适用。在每个小段上对进行低阶多项式逼近。再对每个小段上的逼近多项式积分时，就得到基本公式。基本公式只涉及用足够的来定义分段多项式的某一段，将此公式应用到每个小段并把结果相加就得到了复合公式，或称为扩展公式。181几个重要的数值积分方法数值积分的基本思路用数值方法近似地求一个函数在区间上定积分的基本思路，可以归结到定积分的定义其中。当的取值

5、充分大时，的数值积分就是（1）（2）（1）和（2）式都称为数值求积分式，其中表示截断误差，称为数值求积公式的余项。如果数值求积公式（1）式对次多项式精确地成立，则称此公式具有次代数精度。显然，取值不同，数值积分的结果就不同，当然，定积分的值是一样的。这种做法相当于用相对简单的阶梯函数代替作积分。实际上各种不同的数值积分方法就主要在于研究选择什么样的简单函数代替，使得既能保证一定的精度，又能使计算量足够小。1.1矩形公式我们知道，如果在区间上，则定积分表示曲线下的面积，不妨先从图形上看看如何近似计算这块面积（参见图1）。将区间进行n等分，积分

6、步长为。记。在小区间上用矩形面积近似下面曲边梯形的面积，矩形公式中可以取做端点函数值为小矩形的高，或取右端点的函数值为小矩形的高，于是在整个区间内构成台阶形。容易看出，两个台阶围城面积分别为，(3)18，(4)在图1中，两个台阶形分别小于和大于所求面积。（3）和（4）式就是计算定积分的矩形数值积分，简称矩形公式。XY图11.2梯形公式将矩形公式的两个公式平分，则每个小区间上的小矩形变为小梯形（图1中线段）。设函数在区间上的个等距节点处有定义，且其函数值为，则在闭区间上存在（5-1）或（5-2）使得（6）其中是的截断误差，即余项，（5-1）和

7、（5-2）式就是常用的复合梯形公式，它相当于用分段线性插值函数作为的近似。设函数在区间上的个等距节点18处的函数值为，且在上具有连续的二阶导数，则复合梯形公式（5-1）或(5-2)是2阶收敛的，且存在，使得（5-1）的截断误差为如果记则在上的绝对误差为。1.3辛普森公式为提高精度可以用分段二次插值函数代替。由于每段要用到相邻两个小区间端点的三个函数值，所以区间数目必须是偶数，记。在第段的两个区间上用三个节点，作二次插值函数，得，求段之和就得到整个区间上的近似积分。函数在区间上的个等距节点处有定义，且其函数值为，则在上有（7）使得（8）其中是

8、的截断误差，（7）式称为辛普森公式。函数在区间上的个等距节点处的函数值为，且在上具有连续的四阶导数，则复合辛普森公式是四阶收敛的，且存在，使得（7）式的截断误差为（9）如果记则式