圆锥曲线专题

《圆锥曲线专题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．1.设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.由，消元。如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合

2、．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.a．Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2.“点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长

3、P1P2

4、＝或

5、P1P2

6、＝.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．4．圆锥曲线的中点弦问题遇到

7、中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】　已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设＝λ.(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈，求

8、PQ

9、的最大值．[思维启迪](1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立

10、PQ

11、和λ的关

12、系，然后求最值．解析：(1)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)＝λ＝λ，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)解　由(1)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，∵y1y2>0，∴y1y2＝4，＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)＝2＋4－12＝2－16，λ

13、∈，λ＋∈，当λ＋＝，即λ＝时，

14、PQ

15、2有最大值，

16、PQ

17、的最大值为.[探究提高]圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．变式训练1(2012·四川)如图，动点M与两定点A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程．(2)设直线y＝x＋m(m>0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且

18、PQ

19、<

20、

21、PR

22、.求的取值范围．解　(1)设M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；此时，MA的斜率为，MB的斜率为.由题意，有·＝4.化简可得，4x2－y2－4＝0.故动点M的轨迹C的方程为4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．(2)由消去y，可得3x2－2mx－m2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48>0，而当1或－1为方程(*)的根时，m的值为－1或1.结合题设(m>0)可知，m>0且m≠1.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xQ，xR为方程(*)的两根．因为

23、PQ

24、

25、<

26、PR

27、，所以

28、xQ

29、<

30、xR

31、，xQ＝，xR＝.所以＝＝＝1＋.此时>1，且≠2，所以1<1＋<3，且1＋≠，所以1<＝<3，且＝≠.综上所述，的取值范围是∪.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】已知椭圆C经过点A，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．[思维启迪]可设直线AE的斜率来计算直线EF的斜率，通过推理计算消参．解析(1)解　由题意，c＝1，可设椭圆方程为＋＝1.因为A在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝3，b

32、2＝－(舍去)，所以椭圆