圆锥曲线专题

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1、1　利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例1　线段

2、AB

3、＝4，

4、PA

5、＋

6、PB

7、＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)A．2B.C.D．5解析　由于

8、PA

9、＋

10、PB

11、＝6>4＝

12、AB

13、，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.答案　C2．求动点坐标例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．解析　设椭圆上的动点

14、为P，由椭圆的定义可知

15、PF1

16、＋

17、PF2

18、＝2a＝10，所以

19、PF1

20、·

21、PF2

22、≤2＝2＝25，当且仅当

23、PF1

24、＝

25、PF2

26、时取等号．由解得

27、PF1

28、＝

29、PF2

30、＝5＝a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3,0)．答案　(±3,0)点评　由椭圆的定义可得“

31、PF1

32、＋

33、PF2

34、＝10”，即两个正数

35、PF1

36、，

37、PF2

38、的和为定值，结合基本不等式可求

39、PF1

40、，

41、PF2

42、积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．3．求焦点三角形面积例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．解　由已知得a＝2，b＝，所以c

43、＝＝1，

44、F1F2

45、＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得

46、PF2

47、2＝

48、PF1

49、2＋

50、F1F2

51、2－2

52、PF1

53、

54、F1F2

55、cos120°，即

56、PF2

57、2＝

58、PF1

59、2＋4＋2

60、PF1

61、，①由椭圆定义，得

62、PF1

63、＋

64、PF2

65、＝4，即

66、PF2

67、＝4－

68、PF1

69、.②将②代入①，得

70、PF1

71、＝.所以S△PF1F2＝

72、PF1

73、·

74、F1F2

75、·sin120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于

76、PF1

77、，

78、PF2

79、的方程组，消去

80、PF2

81、可求

82、PF1

83、.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的

84、定义求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴

85、AF2

86、＝c，

87、AF1

88、＝2c·sin60°＝c.∴

89、AF1

90、＋

91、AF2

92、＝2a＝(＋1)c.∴e＝＝＝－1.答案　－1点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2

93、　椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.解析　如图所示，直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，∴

94、a－c

95、＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，解得e＝或e＝(舍去)．答案　3．利用数形结合求离心率例3　在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线

96、互相垂直，则离心率e＝________.解析　如图所示，切线PA、PB互相垂直，PA＝PB.又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，则四边形OAPB是正方形，故OP＝OA，即＝a，∴e＝＝.答案　4．综合类例4　设M为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．解　由正弦定理得＝＝＝＝，∴e＝＝＝＝.点评　此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小

97、题，起到事半功倍的作用．下面举例说明．1．求动点轨迹例1　一动圆C与两定圆C1：x2＋(y－5)2＝1和圆C2：x2＋(y＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C的轨迹方程．解　设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，因为动圆C与两定圆相外切，所以即

98、CC2

99、－

100、CC1

101、＝3<

102、C1C2

103、＝10，所以点C的轨迹是以C1(0,5)，C2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a＝，c＝5，所以b2＝.故动圆圆心C的轨迹方程为－＝1(y≥